Chứng minh rằng nếu số chính phương n là hiệu của các lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp thì \(\sqrt{n}\) là tổng các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp
Trả lời Chứng minh rằng nếu số chính phương n là hiệu của các lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp thì là tổng các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp
Được tạo lúc 2021-05-17 20:33:40 , cập nhật lúc 2021-05-17 20:39:17
thienan2005deptrai
LoveMath
Học sinh
Bình luận được tạo lúc 2021-05-17 20:55:46Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-17 20:55:46
Nội dung
Ta có \(a^2=(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1 (x\in\mathbb{N})\)
\(\Rightarrow 3x^2+3x+1-a^2=0\).
Do pt bậc 2 trên có nghiệm nguyên nên \(\Delta =12a^2-3=m^2=(3n)^2\). Suy ra \(3n^2=(2a-1)(2a+1)\).
Mà (2a - 1, 2a + 1) nên ta có 2 trường hợp:
+) \(2a-1=3u^2;2a+1=v^2\): Khi đó 2a + 1 chia cho 3 dư 2 (vô lí)
+) \(2a-1=u^2;2a+1=3v^2\): Khi đó u lẻ. Đặt u = 2k + 1 thì \(a=2k^2+2k+1=(k+1)^2+k^2\).
Vậy ta có đpcm