Bài toán 1(HSG TPHCM ngày 2 2022). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$. $E$ đối xứng $D$ qua trung điểm $N$ của $BC$. $M$ thay đổi trên đường thẳng qua $E$ vuông góc $BC$ sao cho $CM,BM$ cắt tia đối tia $AB$ và cạnh $AC$ tại $X,Y$ lần lượt. $H_1,H_2$ lần lượt là trực tâm của $XBC$ và $YBC$. 

a) Chứng minh rằng trung điểm $H_1H_2$ thuộc 1 đường thẳng cố định.

b) Chứng minh rằng $H_1H_2$ vuông góc $AM$.