-Ta có:

$$\sum{\dfrac{(x+y)^3}{z}} = \sum{\dfrac{(x+y)^4}{xz+yz}} \ge \dfrac{{\left[2(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\right]^2}}{2(xy+yz+xz)} = \dfrac{2(1-t)^2}{t}$$ với \(t=xy+yz+xz\)

- Mặt khác theo BĐT Schur thì: $$ 9xyz \ge \dfrac{9(4t-1)}{9}= 4t-1$$

- Vậy BĐT cần chứng minh tương đương:

$$ \dfrac{2-4t+2t^2}{t} + 4t-1 \ge 9t \Leftrightarrow (1-3t)(t+2) \ge 0$$ \(\left(\textrm{Đúng do}\, t=xy+yz+xz \le \dfrac{(x+y+z)^2}{3} = \dfrac{1}{3}\right)\)

- Dấu \("="\) xảy ra \( \Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho ba số dương với \(a,b,c>0\) ta có :

\(\sum \dfrac{(x+y)^3}{z} \ge \dfrac{3.(x+y).(y+z).(z+x)}{\sqrt[3]{xyz}} \geq \dfrac{3.(x+y).(y+z).(z+x)}{\dfrac{x+y+z}{3}}=9.(x+y).(y+z).(z+x)\)

\(\Rightarrow \sum \dfrac{(x+y)^3}{z} + 9xyz \ge 9.(x+y).(y+z).(z+x) + 9xyz (1)\)

( Do \(x+y+z=1\) )

Mà ta lại có : \(\sum (x+y)+xyz = (xy+yz+zx).(x+y+z)\)

\( \Rightarrow \sum (x+y)+xyz= xy+yz+zx\) ( do \(x+y+z=1\) )

\( \Rightarrow9.\bigg[ \sum (x+y)\bigg]+9xyz=9( xy+yz+zx) (2)\)

Từ \((1),(2) \Rightarrow \)\(\Rightarrow \sum \dfrac{(x+y)^3}{z} + 9xyz \ge 9.(xy+yz+zx)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Vậy BĐT được chứng minh.