Cho các số x,y,z là các số thực dương x+y+z=1 . Chứng minh rẳng
∑(x+y)3z +9xyz≥9(xy+yz+xz)
Trả lờiẨn danh
Cho các số x,y,z là các số thực dương x+y+z=1 . Chứng minh rẳng
∑(x+y)3z +9xyz≥9(xy+yz+xz)
Trả lời-Ta có:
∑(x+y)3z=∑(x+y)4xz+yz≥[2(x+y+z)2−(xy+yz+xz)]22(xy+yz+xz)=2(1−t)2t
- Mặt khác theo BĐT Schur thì: 9xyz≥9(4t−1)9=4t−1
- Vậy BĐT cần chứng minh tương đương:
2−4t+2t2t+4t−1≥9t⇔(1−3t)(t+2)≥0
- Dấu "=" xảy ra ⇔x=y=z=13
Áp dụng BĐT Cô - si cho ba số dương với a,b,c>0 ta có :
∑(x+y)3z≥3.(x+y).(y+z).(z+x)3√xyz≥3.(x+y).(y+z).(z+x)x+y+z3=9.(x+y).(y+z).(z+x)
⇒∑(x+y)3z+9xyz≥9.(x+y).(y+z).(z+x)+9xyz(1)
( Do x+y+z=1 )
Mà ta lại có : ∑(x+y)+xyz=(xy+yz+zx).(x+y+z)
⇒∑(x+y)+xyz=xy+yz+zx ( do x+y+z=1 )
⇒9.[∑(x+y)]+9xyz=9(xy+yz+zx)(2)
Từ (1),(2)⇒⇒∑(x+y)3z+9xyz≥9.(xy+yz+zx)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=13
Vậy BĐT được chứng minh.