* Tuyển tập các đề thi chọn đội tuyển 2020-2021 * Tuyển sinh CLB Toán Lim năm học mới * Tuyển tập các bài toán số học hay ôn thi chọn đội tuyển VMO 2022 * Tuyển tập các bài toán Hình Học Phẳng ôn thi chọn đội tuyển hay * Tuyển chọn các bài toán hay trong ôn tập thi vào 10 chuyên Toán * Hướng dẫn cách chèn hình ảnh vào web sử dụng Imgur

#bđt


Được tạo lúc 2021-05-18 12:33:38 , cập nhật lúc 2021-05-18 12:38:05


Ẩn danh

Cho các số x,y,z là các số thực dương x+y+z=1 . Chứng minh rẳng

 (x+y)3z +9xyz9(xy+yz+xz)

Trả lời
viscolt
Generic placeholder image
Học sinh
Bình luận được tạo lúc 2021-05-18 14:52:56
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-18 14:57:14
Nội dung

-Ta có:

(x+y)3z=(x+y)4xz+yz[2(x+y+z)2(xy+yz+xz)]22(xy+yz+xz)=2(1t)2t

 với t=xy+yz+xz

- Mặt khác theo BĐT Schur thì: 9xyz9(4t1)9=4t1

- Vậy BĐT cần chứng minh tương đương:

24t+2t2t+4t19t(13t)(t+2)0

(Đúng dot=xy+yz+xz(x+y+z)23=13)

- Dấu "=" xảy ra x=y=z=13

Trả lời
Đạt ToFu
Generic placeholder image
Bình luận được tạo lúc 2021-05-29 11:15:28
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-29 11:15:28
Nội dung

Áp dụng BĐT Cô - si cho ba số dương với a,b,c>0 ta có :

(x+y)3z3.(x+y).(y+z).(z+x)3xyz3.(x+y).(y+z).(z+x)x+y+z3=9.(x+y).(y+z).(z+x)

(x+y)3z+9xyz9.(x+y).(y+z).(z+x)+9xyz(1)

( Do x+y+z=1 )

Mà ta lại có : (x+y)+xyz=(xy+yz+zx).(x+y+z)

(x+y)+xyz=xy+yz+zx ( do x+y+z=1 )

9.[(x+y)]+9xyz=9(xy+yz+zx)(2)

Từ (1),(2)(x+y)3z+9xyz9.(xy+yz+zx)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=13

Vậy BĐT được chứng minh.

 

 

Trả lời