Sorry bạn/anh vì mình chưa biết gõ LaTeX.

Lời giải của mình (bổ đề do 1 bạn khác chứng minh)

Bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc các cạnh CA,AB tại E,F. (AI) cắt (O) tại Z. ZI cắt EF tại M. Khi đó AM,QI cắt nhau tại một điểm nằm trên BC.

Lời giải: Gọi T là tiếp điểm của đường tròn A-mixtilinear với (O), khi đó HI đi qua T. AM cắt BC tại J.

Có BG/GC = sinBAM/sinCAM = MF/ME = BD/DC

Theo bổ đề cát tuyến có JB/JC = (AB/AC).(BG/GC) = (AB/AC).(BD/DC)
Gọi R là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc A với BC, khi đó AT và AR đẳng giác trong góc A.

Có BT/TC = sinBAT/sinCAT = sinCAR/sinBAR = (AB/AC).(CR/BR) = (AB/AC).(BD/DC) => BT/TC = JB/JC, dẫn đến TJ là phân giác BTC, nên T,I,H thẳng hàng

=> bổ đề 2.

*Trở lại bài toán

Gọi AN cắt (AI) tại G khác A, cắt EF tại M. Có FGA = FEA = BCP = BNP nên tồn tại phép vị tự quay F* tâm Z: A->P, F->B, E->C, G->N, M->L. Lại có ZL là phân giác BZC nên ZM là phân giác FZE, dẫn tới Z,M,I thẳng hàng.

Áp dụng bổ đề ta được AM và PI cắt nhau trên BC, mà PI cắt BC tại H nên A,M,H thẳng hàng, hay A,N,H thẳng hàng.

Vậy ta có đpcm.