Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến (O). Trên tia đối OA lấy Q sao cho Q nằm ngoài (O). QC cắt (O) tại M; BM cắt OQ tại P. Kẻ QD⊥AB (D thuộc AB);PE⊥AC (E thuộc AC). Chứng minh rằng DE⊥OM.
Chứng minh DE vuông góc với OM.
Được tạo lúc 2021-05-21 06:34:32 , cập nhật lúc 2021-05-21 06:34:32
No name
math1922
Học sinh
Bình luận được tạo lúc 2021-05-24 11:07:00Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-25 22:08:56
Nội dung
Lời giải:
Xét trường hợp bài toán như hình vẽ. Gọi N là trung điểm BC. Ta có P, N, B, E đồng viên nên $$\widehat{PEN}=\widehat{PBN}=\widehat{MCB}=\widehat{MBE} \Rightarrow NE \perp MB$$
Gọi K là giao điểm của QC với (O) thì KCBM là hình thang cân. Do Q, D, C, N đồng viên nên $$\widehat{DNP}=\widehat{DCK}=\widehat{MCB}=\widehat{PCN} \Rightarrow ND \perp CP.$$
Xét tam giác NDE có ND vuông góc CM, NE vuông góc BM nên theo định lý Carnot DE vuông góc OM khi và chỉ khi:
$$(CN^2-CD^2) + (OD^2-OE^2) + (BE^2 - BN^2) = 0$$
Dễ thấy đây là một khẳng định đúng. Vậy DE vuông góc OM.
P/s: Lời giải mình bị nhầm vị trí B với C :)