Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \(ab+4 \le 2b\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac {ab} {a^2 + 2b^2}\)
Trả lờiChọn điểm rơi
Được tạo lúc 2021-05-28 18:38:40 , cập nhật lúc 2021-05-28 18:38:40
CHY Shin
ĐẶng KhÁnh
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-29 14:28:51
Nội dung
\(\)
Áp dụng BĐT AM-GM có :
\(2b \geq 2\sqrt{ab.4}=4\sqrt{ab} -> b \geq 2\sqrt{ab} -> b^2 >= 4ab -> b >= 4a ->\dfrac{b}{a} \geq 4\)
\(\dfrac{1}{P}=\dfrac{a^2 + 2b^2}{ab} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{2b}{a} = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{16a} + \dfrac{31b}{16a} \geq 2\sqrt{\dfrac{a}{b} . \dfrac{b}{16a}} + \dfrac{31}{16}.4 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{31}{4} = \dfrac{33}{4}\)
\(-> P \leq \dfrac{4}{33}\)
Dấu "=" a = 1 ; b = 4