Dạ bài này hướng giải của em thế này.

So sánh bậc thì được deg P(x) = 0 hoặc deg P(x) = 2.

- Trường hợp 1: deg P(x) = 0 hay P(x) = c với mọi x thuộc R.

Thay vào đề thì tìm được P(x) = 0 với mọi x thuộc R và P(x) = 1 với mọi x thuộc R thỏa mãn.

- Trường hợp 2: deg P(x) = 2 hay P(x) = ax^2 + bx + c với mọi x thuộc R (a khác 0).

Thay vào đề, rút gọn, sau đó đồng nhất hệ số ở hai vế ta được a = c = 1, b = - 2.

Hay nói cách khác P(x) = (x - 1)^2 với mọi x thuộc R.

Thử lại thì ba đa thức trên đều thỏa mãn.

Giả sử \(deg(P(x))=n,\) khi đó xét bậc của hai vế ta được:

\(2n=n^2\Longrightarrow n=0\) hoặc \(n=2.\)

TH1: \(n=0\). Khi đó \(P(x)\equiv c,c\in\mathbb{R}. \) Thay vào đẳng thức ban đầu thỏa mãn.

TH2: \(n=2\Longrightarrow P(x)=ax^2+bx+c\,(a,\,b,\,c\in\mathbb{R},a\ne0)\)

Thay trực tiếp vào đẳng thức ban đầu cho ta \(a=c=1,b=-2.\) (Có thể chỉ ra \(a=1 \) và \(c=1\) hoặc \(c=0\) qua việc so sánh hệ số ở \(x^2\) và hệ số tự do).

Kết luận. Có tất cả 3 đa thức thỏa mãn đề bài.