Bài toán. (Nguồn PTNK 2016) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi D thay đổi trên BC (D khác B, C). Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ACD lần lượt cắt AC và AB tại E và F (E, F khác A). Gọi K là giao điểm của BE và CF.

a) Chứng minh rằng tứ giác AEKF nội tiếp.

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu A, O, D thẳng hàng thì HK//BC.

c) Ký hiệu S là diện tích tam giác KBC. Chứng minh rằng khi D thay đổi trên BC ta luôn có \(S\le \left(\dfrac{BC}{2}\right)^2 \tan \dfrac{\angle BAC}{2}.\)

d) Gọi I là tâm ngoại tiếp của tam giác AEF. Chứng minh rằng 

\(BF\cdot BA-CE\cdot CA=BD^2-CD^2,\)

và ID vuông góc với BC.

Hình vẽ 

Đối với câu a thì khá đơn giản như sau:

a) Tứ giác AEDB nội tiếp dẫn đến \(\angle AEB=\angle ADB;\) tương tự \(\angle AFC=\angle ADC.\) Cộng lại ta thu được đpcm.

b) Câu b em có ý tưởng thế này nhưng chưa hoàn thành được.

Có: ^BKC=^FKE=180-^BAC=^BHC dẫn đến BKHC nội tiếp. Do đó: ^HKC=^HBC=^HAC. 
Lại có: ^KCB=^FCD=^FAD=^BAD.

Tóm lại ta cần chứng minh \(\angle HAC=\angle BAD\) khi A, O, D thẳng hàng.