(Sharygin). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\). Đường tròn nội tiếp \(AHB\) tiếp xúc cạnh \(AB,HB\) tại \(M,P\); đường tròn nội tiếp \(AHC\) tiếp xúc cạnh \(AC,HC\) tại \(N,Q\). Chứng minh rằng tâm đường tròn \((AMN)\) thuộc trung trực đoạn \(PQ\).
Trả lờiChứng minh rằng tâm đường tròn \((AMN)\) thuộc trung trực đoạn \(PQ\).
Được tạo lúc 2021-06-22 11:05:22 , cập nhật lúc 2021-06-22 11:05:42
Hỏa thần
JR2k5
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-06-27 22:50:29
Nội dung
Nhận thấy tâm (AMN) là trung điểm MN. Gọi điểm đó là I.
Gọi K, J, L lần lượt là chân đường cao hạ từ M, I, N xuống BC.
Khi đó ta có IJ là đường trung bình của hình thang MNLK
=> J là trung điểm KL
Khi đó cần chứng minh KP=QL.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC lần lượt là X và Y
Thật vậy, ta có: KP=(MK/tan∠KPM)=(MK/tan∠MXB)=(MK.MX/MB)
Tương tự LQ= (NL.NY/NC)
Cần cm: (MK.MX/MB)=(NL.NY/NC)<=> (MK.MX/NL.NY)=(MB/NC)<=>(MK/NL).(AB/AC)=(MB/NC)
<=> (MK/NL).(NC/MB)=(AC/AB)<=>(MK/MB).(NC/NL)=(AC/AB)<=>(AH/AB).(CA/AH)=(AC/AB) (Đúng) => đpcm