OLP CLB Toán Lim Tuần 3

Câu 1(4 điểm). Tìm \(m\) sao cho: \(x^2-2x[x]+x-m=0\) có 2 nghiệm không âm, với \([x]\) là phần nguyên của \(x\).

Câu 2(5 điểm). Cho dãy \(u_n\) thỏa mãn: 

i) \(u_1=1\)

ii) \(u_n=[\sqrt{u_1+u_2+...+u_{n-1}}]\) với \(n=2,3,...\)

Tính \(u_{2021}\).

Câu 3(4 điểm). Cho \(u_n\) thỏa mãn: 

i) \(u_1=1,u_2=3\).

ii) \(u_{n+1}=(n+2)u_n-(n+1)u_{n-1}\) với \(n=2,3,...\)

Tìm \(n\) để \(u_n\) là số chính phương.

Câu 4(4 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \((O)\) có các đường cao \(AD,BE,CF\) và các đường phân giác trong \(AX,BY,CZ\). Gọi \(H_1,H_2\) là trực tâm của \(DEF,XYZ\). Tiếp tuyến tại \(B\) cắt \(AC\) tại \(K\) và tiếp tuyến tại \(C\) cắt \(AB\) tại \(L\). Chứng minh rằng \(KL\perp H_1H_2\).

Câu 5(3 điểm). Cho song ánh: \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\). Có tồn tại vô hạn các bộ \((a,b,c)\) với \(a,b,c\in \mathbb{N}\) và thỏa mãn:

i) \(a<b<c\)

ii) \(f(a)+f(c)=2f(b)\).

Kết quả tuần 3 OLP LIM CLUB 

Khải Hoàn(4 điểm). Bài 1 xử lí sai hoàn toàn, không hiểu được là tsao lại ngây thơ dùng Viete vào đây được

Nguyễn Quang Huy-Chuyên QH Huế(8 điểm).

Nguyễn Quang Huy- Chuyên Biên Hòa Hà Nam(18 điểm)(trừ 1 điểm trình bày làm ng chấm đọc đau mắt)

Giải bài hình dài và không cần thiết phải dùng tới Sondat. 
Câu 2 nhiều chỗ trình bày khó hiểu. 
Câu 1 làm tốt, ý tưởng ngắn gọn xúc tích. 
Câu 3 làm đúng, ý tưởng lùi vô hạn tốt.
Câu 5 làm đúng. 

Trần Sơn Tùng(17 điểm).

Đi thi thế này là vippro(không mất điểm trình bày)

Câu 1 làm hay. Trình bày tốt.

Cau 2. Làm đúng, trình bày tốt

Câu 3. Làm ngắn gọn tốt

Câu 4. Ý tưởng chứng minh hai trực tâm cùng nằm trên OL ngắn gọn.

Nguyễn Bá Hoàng(12 điểm)

Câu 1. Sai ý tưởng

Cau 2. Đúng và cách làm khá thú vị

Câu 3. Viết tắt đoạn ra công thức quá.

Câu 5. Làm khá ảo, mình sẽ xem xét kĩ.

Đoàn Duy Tùng-CBH Hà Nam(17 điểm)

Câu 5 viết tốt. Câu 4 H1,H2 cách chứng minh k giống nhau, bạn đã làm hơi vội r :)) 

Phan Trung-CBH Hà Nam(14 điểm)

Câu 4 có 1 đoạn làm bằng số phức nhưng lại k biến đổi hết(k có điểm).

Câu 5 viết k thoát ý. Hiểu nhưng k viết được dưới ngôn ngữ dãy số. Tham khảo bài làm của Duy Tùng

Câu 1 trình bày đoạn sau không tốt

Phan Vĩnh Tiến(14 điểm)-Phú Yên

Câu 1 trình bày tốt. Câu hình k giải quyết được nốt hơi tiếc

Nguyễn Đình Tuấn Minh-CHY(9 điểm), lời giải bài hình dùng số phức full :)) chấm khá mỏi mắt, nhưng đúng.
Bài 2 cũng làm đúng dù hơi dài nhưng trình bày mạch lạc.
 

Link giải: https://www.facebook.com/groups/303150117039424/permalink/791469234874174/

Kì thi OLP Lim Club Tuần 4

Bài 1(3 điểm). Cho dãy nguyên dương \(u_n\) và \(v_n\) là dãy chữ số hàng đơn vị của dãy \(u_n\) đồng thời thỏa mãn: \(u_{n+1}=u_n+v_n\). Tìm điều kiện của \(u_1\) để dãy trên có vô số số hạng là lũy thừa của \(2\). 

Bài 2(4 điểm). Cho bảng hình vuông \(n\times n\) với \(n\in \mathbb{N}\). Người ta tô màu mỗi ô của bảng bằng 1 trong \(k\) màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu bảng vuông khác nhau?

P/s: Hai cách tô giống nhau nếu là ảnh của nhau qua phép quay quanh tâm của bảng vuông.  

Bài 3(5 điểm). Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(AD,BE,CF\). \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BE,CF\). Gọi liên hợp đẳng giác của \(H\) ứng với tam giác \(MNP\) là \(X\). Đường thẳng qua \(X\) song song \(CA,AB\) lần lượt cắt \(DF,DE\) tại \(I,K\). Chứng minh rằng \(XH\perp IK\).  

Bài 4(4 điểm). Cho dãy \((u_n), (v_n)\) thỏa mãn:

i) \(u_1=a,v_1=b(a,b>0)\)

ii)  \(u_{n+1}=\dfrac{3u_nv_n}{2u_n+v_n}\)

iii) \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+2v_n}{3}.\)

Chứng minh rằng hai dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn và bằng nhau.

Bài 5(4 điểm). Tìm tất cả các hàm \(f:\mathbb{R_{\geq 0}}\rightarrow \mathbb{R_{\geq 0}}\):

$$f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y))\forall x,y\geq 0$$

Kì thi OLP CLB Toán Lim Tuần 5

Đây là tuần cuối nên các bạn cố gắng nhé <3 

Link pdf đề tại đây 

OLP Lim Club Tuần 5

Câu 1. Tìm tất cả các hàm toàn ánh \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) thỏa mãn: \(f(x+f(x)+2f(y)+2f(z))=f(2x)+f(2y)+f(2z)\forall x,y,z\in \mathbb{R}\).

Câu 2. Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:

\(\sum \left(\sin^2{\dfrac{A}{2}}.\sin^2{\dfrac{B}{2}}\right) \geq \dfrac{\sum \left(\sin^2{A}\right)}{12}\).

Câu 3. Tìm các số thực \(a,b,c\) sao cho với \(n>3\) thì đa thức \(P(x)=x^n+x^{n-1}+...+ax^2+bx+c\) có \(n\) nghiệm nguyên. 

Câu 4. Cho dãy số thực dương \(u_n\) thỏa mãn: \(u_{n+1}=\dfrac{2}{u_n+u_{n-1}}\) với \(n=1,2,3...\). Chứng minh rằng dãy \(u_n\) bị chặn.

Câu 5. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \((O)\) nhọn có \(AB<AC\). \(D\) nằm trên phân giác trong góc \(A\) sao cho: \(\angle BDC=90^\circ+\angle A\). Tiếp tuyến tại \(B,C\) của \((O)\) cắt nhau tại \(P\). Đường thẳng qua \(A\) song song \(PD\) cắt \((O)\) tại \(X\) khác \(A\). Chứng minh rằng: \(ABXC\) là tứ giác lưỡng tiếp.