Hỏa thần
Bài 1. Cho tam giác \(ABC\) nhọn có tâm nội tiếp \( I \), nội tiếp đường tròn \((O)\).
a) Chứng minh rằng \(\angle BIC=90^\circ+\dfrac{A}{2}\).
b) Gọi \(AI\cap (O)=A,D\). Chứng minh rằng: \(D\) là tâm \((BIC)\).
c) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Gọi \(K\) đối xứng \(D\) qua \(O\). Chứng minh rằng \(\angle IKA=\angle IMB\) (chọn tuyển Hà Nội 2012).
Trả lờiBài 2. Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((I)\). Một đường thẳng \(d\) bất kỳ đi qua \(I\). Đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(BC\) qua \(d\) tiếp xúc với \((I)\) tại \(X\), \(M\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(d\). Chứng minh rằng \(d, AX, CM\) đồng quy.
Bài 3. Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \((I)\). \((I)\) tiếp xúc \(BC,CA,AB\) tại \(D,E,F\).
a) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\) lên \(EF\). Chứng minh rằng \(DK\) là phân giác của \(\angle BKC\).
b) Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(DK\) là phân giác góc \(HKI\).
Bài 4 (Định lí Feuerbach) Cho tam giác \(ABC\), đường tròn nội tiếp \((I)\) và 3 đường tròn bàng tiếp \((J_a),(J_b),(J_c)\). Chứng minh rằng: đường tròn Euler của tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \((I),(J_a),(J_b),(J_c)\).
Bài 5 (Sưu tầm) Cho tam giác \(ABC\), đường tròn nội tiếp \((I)\) tiếp xúc với \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(D,E,F\). \(EF,FD,DE \) lần lượt cắt \(BC,CA,AB\) tại \(K,M,N\). \((KD),(EM),(FN)\) lần lượt cắt \((I)\) tại \(X,Y,Z\).
a) Chứng minh rằng 3 đường tròn \((KD),(EM),(FM)\) đồng trục.
b) Chứng minh \(DX,EY,FZ\) đồng quy tại một điểm. Gọi điểm đó là \(J\).
c) Gọi \(S\) là trung điểm \(EF\), \(R\) là điểm chính giữa cung \(BAC\) của \((ABC)\). Chứng minh \(J,S,R\) thẳng hàng.