Mình có bổ đề hay như sau: Cho ABC, DEF là hai tam giác đồng dạng cùng hướng. M,N,P  lần lượt là các điểm nằm trên AD,BE,CF sao cho:
$$\frac{\overline{MA}}{\overline{MD}}=\frac{\overline{NB}}{\overline{NE}}=\frac{\overline{PC}}{\overline{PF}}$$ Khi đó tam giác MNP cũng đồng dạng cùng hướng với hai tam giác ABC, DEF.

Chứng minh bổ đề khá đơn giản: Do hai tam giác ABC, DEF đồng dạng cùng hướng nên tồn tại tâm đồng dạng S biến tam giác này thành tam giác kia. Từ giả thiết suy ra tồn tại phép đồng dạng cùng tâm S biến ABC thành MNP, từ đây ta có đpcm.

Quay lại bài toán: Lấy A' đối xứng A qua EF. Khi đó hai tam giác A'EF và ABC đồng dạng cùng hướng. Mặt khác: M, N, K theo thứ tự là trung điểm BE, CF, AA' cho nên tam giác KMN đồng dạng cùng hướng với tam giác ABC, cho nên: 

$$(KM,KN)=(AB,AC)=(PM,PN)$$ Hay K, P, M, N đồng viên.

Bài này nếu gọi X, Y lần lượt là trung điểm BC và trực tâm tam giác AEF thì X và Y liên hợp đẳng giác trong tam giác HEF, từ đó hình chiếu của X,Y lên tam giác HEF là M, N, P, K đồng viên theo tính chất cặp điểm liên hợp đẳng giác