khanhanbanh123
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). D là một điểm bất kì trên cạnh BC. Trung trực AD cắt OA tại P. PD cắt OB,OC lần lượt tại F,E.
Đường thẳng qua A tiếp xúc (O) cắt trung trực AD tại K. CMR (K,KA) tiếp xúc với (OEF)
Mong mọi người góp ý một số lời giải hay để mình đối chiếu với lời giải của mình :D
Mời các bạn thảo luận
Gọi X là giao điểm của (BDF) và (CDE). Mình sẽ chứng minh X là điểm tiếp xúc của (K;KA) với (OEF).
1) Từ cách lấy điểm X mình có <XBF = <XDF = <XCE. Suy ra X nằm trên (BOC).
Do đó mà <XFE = <XBC = <EOF, nên X nằm trên (OEF).
2) Giờ mình sẽ chứng minh X nằm trên (K;KA).
Cho trung trực AD cắt AB, AC tại H, I. Khi đó H thuộc (BDF) và I thuộc (CED). Thật vậy:
Ta có <BHD = <HAD + <HDA = 2 <BAD. Ngoài ra <BFD = 180 - <FPO - <POF = 180 - 2 <DAO - <AOB = 180 - 2 <DAO - 2 <ACB = 2( <BAO - <DAO) = 2 <BAD.
Vì thế nên <BHD = <BFD, dẫn đến B, H, X, F, D đồng viên. Tương tự thì C, I, X, E, D đồng viên.
Để ý rằng KA là tiếp tuyến của (O) nên KA vuông góc AP. Suy ra PA, PD là tiếp tuyến của (K;KA).
Ngoài ra thì (BDH) và (CDI) cắt nhau tại X nên theo định lý Miquel ta cũng có AHXI nội tiếp.
Trước hết mình có: <AIH + <DAP = 90 - <DAC + <DAP = 90 - <PAC = <ABC.
Do đó: <AXD = <HXD + <HXA = 180 - <ABC + <AIH = 180 - <DAP = 180 - <PKA. Từ đây ta suy ra X thuộc (K;KA).
3) Nhiệm vụ cuối cùng: Chứng minh (K;KA) tiếp xúc với (OEF) tại X.
Ta có <AXE = 360 - <EXC - <DXC - <AXD = 360 - <EDC - <DEC - 180 + <PKA = 180 - <EDC - <DEC + <AKP = <OCB + <DAP.
Và <ADX + <EOX = <XAO + <XBC = <OBC + <XAO + <XBO = <OBC + <XAO + <XDE = <OBC + <XAO + <XAD = <OBC + <DAO.
Điều này cho ta <AXE = <ADX + <EOX. Suy ra (K;KA) tiếp xúc với (OEF). Kết thúc bài toán.
P/s: Cách bạn làm có ngắn hơn không? Cách này trông hơi trâu.
Hướng làm của bạn giống của mình, đều là chứng minh điểm Miquel nằm trên (K;KA) rồi chứng minh K,điểm miquel và tâm đường tròn thẳng hàng. Chỗ chứng minh điểm Miquel thuộc (K;KA) và khúc chứng minh 3 điểm thẳng hàng thì mình biến đổi tỉ số chứ ko cộng góc
(hình của mình 1 số điểm phụ mình gọi tên khác bạn ) bạn vào xem mấy link này:
phần đầu lời giải: https://www.geogebra.org/geometry/ssewdrwj
Chứng minh điểm miquel thuộc (k): https://www.geogebra.org/geometry/gvfvfexs
Đây là khúc chứng minh thẳng hàng https://www.geogebra.org/geometry/yujqygpc bạn vào link này xem hình cho rõ nhé, mà bạn cộng góc cháy đấy :)))
P/S: cách mình cũng trâu lắm
Ừm, công nhận cách cậu cũng trâu, nhưng hay, hehe.
Mà mình chẳng dám đi theo hướng chứng minh 2 tâm với cái tiếp điểm thẳng hàng đâu, cảm giác nó hơi bí ý tưởng.
Ngoài ra thì cách cộng góc này nó cũng đúng với cái hình đó thôi, vẫn hạn chế...