Lời giải của Euler được sưu tầm từ bạn Thành Nguyễn :)) Khá là thú vị

Bài toán 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Dựng điểm $D$ thỏa mãn: $\angle DBA = \angle BAC = \angle DCA$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $O,H,D$ thẳng hàng. (Giới hạn hết kiến thức kì II lớp 8)

Bài toán 3. (giới hạn kiến thức học kì I lớp 9) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$, đường cao $BN, CM$. $BN, CM$ lần lượt cắt lại $(O)$ tại $Q, P$. Kẻ $RY$ vuông góc với $AC$, $QZ$ vuông góc với $AB$. CMR $YZ$ vuông góc với $HO$.

Bài toán 4. Cho tam giác $ABC$ và các điểm $K,L,M$ thuộc đoạn $AB,BC,CA$: $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{BL}{BC}=\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{1}{3}$. Kí hiệu $R(XYZ)$ là bán kính ngoại tiếp tam giác $XYZ$. Chứng minh rằng nếu: $R(AKM)=R(BLK)=R(CML)$ thì bán kính nội tiếp của chúng cũng bằng nhau.

Sử dụng kiến thức lớp 8

Bài toán 5(TST 2022 ngày 2). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$. $K$ đối xứng $A$ qua $O$. Trung trực $BC$ cắt $AC,AB$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $PK$ đi qua đối xứng $A$ qua tâm $(AEF)$. 

Giới hạn: Kì 2 lớp 9.