Bổ đề: \(\frac{\sin(x)}{\sin(a-x)} = \frac{\sin(y)}{sin(a-y)} \)

thì \(x \equiv y \pmod \pi\)

Quay trở lại bài toán:

Đặt \(\widehat{KHF}=x \) ,\(\widehat{CHX} =y\) và\(\widehat{BHC}=a\)

Dùng định lý ceva-sin cho tam giác HEF và BHC ta thu được \(\frac{\sin(x)}{\sin(a-x)} = \frac{\sin(y)}{sin(a-y)} \)

Áp dụng bổ đề trên suy ra \(x \equiv y \pmod \pi\) mặt khác \(x,y \leq \pi\)

Suy xa x=y hay đpcm

Solution. Dựng \(J,T\) là trung điểm của \(AH,EF\). Ta dễ thấy rằng: \(K,J,T,M\) thẳng hàng. Ta cũng để ý rằng \(MFJE\) là tứ giác điều hòa nên là: \( (KT,JM)=-1\). Suy ra: \(\dfrac{KJ}{KM}=\dfrac{TJ}{TM}\). Để ý rằng: \(AH=2JH=2OM\) suy ra: \(JH=OM\). Ta cần: \(\dfrac{OM}{MX}=\dfrac{JT}{TM}\).

Mà \(\bigtriangleup MEF\backsim\bigtriangleup XBC\) nên ta có điều phải chứng minh.

 Thay N là K của bạn nhé

Xin lỗi mọi người vì mình không biết gõ latex

Lời Giải: Gọi BH giao (O) tại I, CH giao (O) tại L, II giao LL tại M.

Áp dụng định lý pascal ta được M,H,X thẳng hàng. (1)

Xét phép vị tự tâm H tỉ số 1/2 ta được:    O --> J, I --> E, L --> F . Suy ra M --> K

Vậy H,K,M thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm