Đầu tiên ta sẽ chứng minh với z đồng dư 0 (mod p) thì \( \frac{1}{(z-1)^{2}} \equiv 1+2z+3z^{2}\). Nó tương đương với việc \(1-(1-z)^{2}(1+2z+3z^{2})=4z^{3}-3z^{4} \equiv 0 (mod p)\). Từ đây ta khai triển như sau: \( f_{p}(x) =\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{1-(-\frac{px}{k^{2}})} = \sum_{k=1}^{p-1}(1-\frac{2px}{k}+\frac{3(px)^{2}}{k^{2}})\frac{1}{k^{2}}\). Bây giờ ta cần chứng minh các điều sau: Lưu ý: chúng ta sẽ thử p=2 và p=3( đó là điều khá đơn giản, mong bạn làm được, dù gì thì tất cả các trường hợp vẫn ra cùng một kêt quả thôi)

//( \(\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{3}} \equiv 0  (mod p^{2}) \). Ta chứng minh như sau:\(2VT(1)=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{3}}+\frac{1}{(p-k)^{3}}=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{p^{3}-3pk(p-k)}{k^{3}(p-k)^{3}}\). Do trên tử đã thuộc I(p) rồi nên việc cần làm là chứng minh \( \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{3}-(p-k)^{3}} \equiv 0 (mod p)\). Có \(k^{3}(p-k)^{3} \equiv k^{3}.(-k^{3}) \equiv -k^{6} (mod p)\). Việc cần làm còn lại là chứng minh \(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^6} \equiv 0 (mod p)\). Ta lấy nghịch đảo của 1,2,..,p-1 mod p thì sẽ có\(VT(2) \equiv 1^{6} +2^{6}+...+(p-1)^{6} (mod p)\). Lấy g là căn nguyên thủy mod p thì do 6 không là ước của p-1( thử lại các trường hợp này), mà có \(1^{6} +2^{6}+...+(p-1)^{6} \equiv a^{6} +a^{2.6}+...+a^{(p-2)6} (mod p) \) và do \((a^{6}-1)(a^{6} +a^{2.6}+...+a^{(p-2)6})=a^{6(p-1)} -1 \equiv 0 (mod p) \). Vậy ta có điều phải chứng minh kết thúc kết quả 1.

//( \(\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{4}} \equiv 0 \) (mod p). Kết quả này ta chứng minh tương tự với kết quả một. 

( Từ 2 kết quả trên cho ta \(f_{p}(x) \equiv \sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{2}} \) (mod p). Qua đó cho ta đpcm. 

(Ta có các định nghĩa như sau:

VT(1)=\(\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^{3}}\)

VT(2)=\(\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^{6}}\). 

\Ta định nghĩa R là tập tất cả các số hữu tỉ viết ở dạng phân sô tối giản và mẫu số của nó nguyên tố cùng nhau với p. Tập I(p)={ap:a thuộc R}. Ta nói \(x \equiv y \) mod (I(p))  nếu x-y thuộc I(p).  Để thuận tiện thì ta gọi là \(x \equiv y\) (mod p). Vậy nên ta có các tính chất đồng dư trên I(p) giống với đồng dư bình thường.