* Tuyển tập các đề thi chọn đội tuyển 2020-2021 * Tuyển sinh CLB Toán Lim năm học mới * Tuyển tập các bài toán số học hay ôn thi chọn đội tuyển VMO 2022 * Tuyển tập các bài toán Hình Học Phẳng ôn thi chọn đội tuyển hay * Tuyển chọn các bài toán hay trong ôn tập thi vào 10 chuyên Toán * Hướng dẫn cách chèn hình ảnh vào web sử dụng Imgur

Bài hình đề nghị Olympic 30/4 Lê Quý Đôn Bà Rịa 2017


Được tạo lúc 2021-05-10 20:40:56 , cập nhật lúc 2021-05-10 20:40:56

khanhanbanh123

(O) tiếp xúc d tại A thuộc (O), M thuộc d khác A. Qua M kẻ đường thẳng cắt (O) tại B và C (B nằm giữa M và C). K là trung điểm AC, (MAB) cắt đường thẳng MK tại D khác M. Đường thẳng AD cắt (O) ở E khác A, tiếp tuyến tại A của (MAB) cắt (O) tại F khác A. X,Y lần lượt là hình chiếu của E lên đường thẳng AB, AF. Cmr BF đi qua trung điểm XY

Trả lời
Trung không biết làm hình
Generic placeholder image
Học sinh
Bình luận được tạo lúc 2021-05-10 21:12:58
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-10 21:27:21
Nội dung

 

Sau đây là lời giải của mình.

Dễ dàng chứng minh được MD là đường đối trung của tam giác MAB.

Có ECB = EAB = DMB nên CE//MK, theo định lý đường trung bình thì D là trung điểm AE, từ đó X và Y thuộc đường tròn đường kính AE.

Hạ EH vuông góc với BF tại H. có EYH = EFH (E,H,Y,F thuộc (HF) = EFB = EAB = EYX nên H,Y,X thẳng hàng.

Có MAB = BFA và BMA = BAF nên hai tam giác MBA và ABF đồng dạng. Lại có BMD = BCE = BAE dẫn tới hai tam giác MBA hợp D đồng dạng với ABF hợp E. Mà MD là đối trung trong tam giác AMB nên AE là đối trung trong tam giác BAF, từ đó ABEF điều hòa, suy ra EFB = DFA, hay EYX = DFA. Kết hợp XEY = EBH = DAF suy ra XEY đồng dạng với ADF.

Gọi J là trung điểm AF, kết hợp D là trung điểm AE suy ra DJ//EF, dẫn tới ADJ = AEF = ABF = XEH, mà XEY đồng dạng với ADF nên XEY hợp H đồng dạng với ADF hợp J. Lại có J là trung điểm AF nên H là trung điểm XY. Từ đó ta có BF đi qua trung điểm H của XY.

P/s: đoạn xử lý ABEF điều hòa mình làm dài quá.

Trả lời
12DecMath
Generic placeholder image
Vận động viên Esport
Bình luận được tạo lúc 2021-05-11 11:35:19
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-11 11:47:47
Nội dung

Ta có: \(\widehat{MAB}\)=\(\widehat{MCA}\) \(\rightarrow\) tam giác MAB và MCA đồng dạng 

Gọi N là trung điểm của AB mà K là trung điểm của AC nên \(\widehat{KMB}\) =\(\widehat{NMA}\)

\(\rightarrow\) tam giác MBD và MNA đồng dạng

\(\rightarrow\) \(\frac{BD}{NA}\) \(\rightarrow\)BD.MA=MD.NA=\(\frac{1}{2}\) AB.MD (*)

Áp dụng định lí Plotolemy cho tứ giác MADB, ta được: AB.MD=BD.MA+MB.AD, theo (*), suy ra được:

BD.MA=MB.AD \(\rightarrow\) MADB điều hòa. \(\rightarrow\) A(ABMD)=-1

Xét phép chiếu phối cảnh đỉnhA của chùm điều hòa này lên đường tròn (O, ta được: A(FBAE)=-1 

\(\rightarrow\) ABEF là tứ giác điều hòa => EF.AB=EB.FA (**)

Gọi T là hình chiếu của E lên BF \(\rightarrow\) X,Y,T thẳng hàng  (Đường thẳng simson) 

Áp dụng định lí hàm sin cho (EF) và (EB) và T là giao điểm của (EF) và (EB) nên: TX=BE.sin\(\widehat{XBT}\) và TY= FE.sin\(\widehat{TFY}\)

\(\rightarrow\) \(\frac{TX}{TY}\)=\(\frac{BE.sin\(\widehat{XBT}\)}{FE.sin\(\widehat{TFY}\)}\)

Tiếp tục áp dụng định lí hàm sin cho tam giác BFA, ta suy ra được:  \(\frac{TX}{TY}\)=\(\frac{BE.EA}{FE.BA}\)

mà theo (**) suy ra: TX=TY \(\rightarrow\)đpcm

Trả lời