(O) tiếp xúc d tại A thuộc (O), M thuộc d khác A. Qua M kẻ đường thẳng cắt (O) tại B và C (B nằm giữa M và C). K là trung điểm AC, (MAB) cắt đường thẳng MK tại D khác M. Đường thẳng AD cắt (O) ở E khác A, tiếp tuyến tại A của (MAB) cắt (O) tại F khác A. X,Y lần lượt là hình chiếu của E lên đường thẳng AB, AF. Cmr BF đi qua trung điểm XY
Trả lờiBài hình đề nghị Olympic 30/4 Lê Quý Đôn Bà Rịa 2017
Được tạo lúc 2021-05-10 20:40:56 , cập nhật lúc 2021-05-10 20:40:56
khanhanbanh123
Trung không biết làm hình
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-10 21:27:21
Nội dung
Sau đây là lời giải của mình.
Dễ dàng chứng minh được MD là đường đối trung của tam giác MAB.
Có ECB = EAB = DMB nên CE//MK, theo định lý đường trung bình thì D là trung điểm AE, từ đó X và Y thuộc đường tròn đường kính AE.
Hạ EH vuông góc với BF tại H. có EYH = EFH (E,H,Y,F thuộc (HF) = EFB = EAB = EYX nên H,Y,X thẳng hàng.
Có MAB = BFA và BMA = BAF nên hai tam giác MBA và ABF đồng dạng. Lại có BMD = BCE = BAE dẫn tới hai tam giác MBA hợp D đồng dạng với ABF hợp E. Mà MD là đối trung trong tam giác AMB nên AE là đối trung trong tam giác BAF, từ đó ABEF điều hòa, suy ra EFB = DFA, hay EYX = DFA. Kết hợp XEY = EBH = DAF suy ra XEY đồng dạng với ADF.
Gọi J là trung điểm AF, kết hợp D là trung điểm AE suy ra DJ//EF, dẫn tới ADJ = AEF = ABF = XEH, mà XEY đồng dạng với ADF nên XEY hợp H đồng dạng với ADF hợp J. Lại có J là trung điểm AF nên H là trung điểm XY. Từ đó ta có BF đi qua trung điểm H của XY.
P/s: đoạn xử lý ABEF điều hòa mình làm dài quá.
12DecMath

Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-11 11:47:47
Nội dung
Ta có: \(\widehat{MAB}\)=\(\widehat{MCA}\) \(\rightarrow\) tam giác MAB và MCA đồng dạng
Gọi N là trung điểm của AB mà K là trung điểm của AC nên \(\widehat{KMB}\) =\(\widehat{NMA}\)
\(\rightarrow\) tam giác MBD và MNA đồng dạng
\(\rightarrow\) \(\frac{BD}{NA}\) \(\rightarrow\)BD.MA=MD.NA=\(\frac{1}{2}\) AB.MD (*)
Áp dụng định lí Plotolemy cho tứ giác MADB, ta được: AB.MD=BD.MA+MB.AD, theo (*), suy ra được:
BD.MA=MB.AD \(\rightarrow\) MADB điều hòa. \(\rightarrow\) A(ABMD)=-1
Xét phép chiếu phối cảnh đỉnhA của chùm điều hòa này lên đường tròn (O, ta được: A(FBAE)=-1
\(\rightarrow\) ABEF là tứ giác điều hòa => EF.AB=EB.FA (**)
Gọi T là hình chiếu của E lên BF \(\rightarrow\) X,Y,T thẳng hàng (Đường thẳng simson)
Áp dụng định lí hàm sin cho (EF) và (EB) và T là giao điểm của (EF) và (EB) nên: TX=BE.sin\(\widehat{XBT}\) và TY= FE.sin\(\widehat{TFY}\)
\(\rightarrow\) \(\frac{TX}{TY}\)=\(\frac{BE.sin\(\widehat{XBT}\)}{FE.sin\(\widehat{TFY}\)}\)
Tiếp tục áp dụng định lí hàm sin cho tam giác BFA, ta suy ra được: \(\frac{TX}{TY}\)=\(\frac{BE.EA}{FE.BA}\)
mà theo (**) suy ra: TX=TY \(\rightarrow\)đpcm