Lời giải.

Ta xét một hoán vị \(\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) của \(\{1,2,3,4\}\) và gọi hai số \(a_i,a_j\) trong hoán vị trên là một nghịch thế nếu như \(i mà \(a_i>a_j.\)

Xét tổng số nghịch thế của hoán vị trước và sau khi đảo ngược 4 số trên.

Ta dễ dàng thấy được với mỗi một nghịch thế của hai số trong hoán vị trước khi bị đảo ngược, thì sau đó nó không còn là một nghịch thế nữa, và ngược lại.

Do đó, nếu trước khi đảo ngược hoán vị \(\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) có đúng \(k \) nghịch thế \((0\le k\le 6)\), thì sau khi đảo ngược vị trí 4 số cho ta đúng \(6-k\) nghịch thế.

Vậy số nghịch thế thay đổi là \(6-2k\), luôn là một số chẵn.

Trở lại bài toán.

Số nghịch thế của \(\{1,2,3,,...,2022\}\) là \(0\) và của \(\{2022,2021,...,2,1\}\) là \(\text{C}^2_{2022}=1011\times 2021\), vốn là một số lẻ.

Do mỗi lần đảo ngược vị trí bốn số chỉ thay đổi số chẵn số nghịch thế, ta không thể thu được kết quả như đề bài. ĐPCM.

Giả sử (a_1,a_2,a_3,a_4) là một hoán vị
của 4 số tự nhiên đầu tiên
Gọi cặp (x_i,x_j) là cặp số ngược của
hoán vị vừa nêu nếu a_i>a_j mà i Dễ thấy sau mỗi lần thực hiện phép đổi
chỗ hai số kề nhau
qua hoán vị thì số cặp ngược sẽ tăng
hoặc giảm đi 1 đơn vị
Sau khi chuyển chỗ 2 số a_i và a_i+n
(n>0) trong một hoán vị tức là chuyển a_i
liên tiếp qua n-1 số kề nó, nghĩa là
chuyển 2n-1 hai số kề nhau, do đó số
cặp số ngược sẽ tăng hoặc giảm đi lẻ
đơn vị
Ta có số cặp số ngược của hoán vị ban
đầu là 0, số cặp số ngược của hoán vị
cuối là 2022C2 là số lẻ --> có lẻ lần đổi chỗ ở cặp số nào đó.
Mà vì mỗi lần hoán vị là đổi chỗ 4 số nên số cặp số ngược sẽ tăng giảm chẵn lần do đó không thể tồn tại cách để chuyển theo yêu cầu đề bài!!