Bài này mình nhớ anh Khương đã từng giải rồi :)
Lời giải.

Gọi \(T=XD\cap (BOC),\, T'=YZ\cap (BOC).\) Kẻ các đường cao \(BE,CF\) và \(S=EF\cap BC.\)

Nhận thấy \((SD,BC)=-1\Longrightarrow \overline{HS}.\overline{HM}=\overline{HB}.\overline{HC}=\overline{HX}.\overline{HT}.\)

Cho ta tứ giác \(STMX\) là tứ giác nội tiếp và \(\angle STX=90^\text{o}\Longrightarrow \overline{S,T,O}.\)

\(K= AX\cap (O) \,(K\neq A);\, L=OZ\cap (BOC)\,(L\neq O)\). 

Theo Shooting Lemma có \(XD.XT=XB^2=XC^2=XM.XO=XK.XA\). Suy ra \(T,D,K,A \) đồng viên. 

Dẫn đến \(\angle TDA = \angle TKA =\angle TSZ\Longrightarrow STZK\) nội tiếp

Cũng có \(OT.OS=OM.OX=OZ.OL\Longrightarrow STZL\) nội tiếp.

Kéo theo năm điểm \(S,T,Z,K,L \) cùng thuộc một đường tròn.

Từ đó suy ra \(\angle ZKT=\angle ZLT=\angle TYO \Longleftrightarrow ATKY\) nội tiếp.

Mặt khác \(ZT'.ZY=ZB.ZC=ZA.ZK\Longrightarrow AT'ZY \) nội tiếp

Vậy \(T\equiv T'\). Hoàn tất chứng minh.

Gọi \(XD\) cắt \((BOC)\) tại \(T\) và \(TY\) cắt \(BC\) tại \(Y'\)

Dễ thấy \(TX,YO\) lần lượt là phân giác góc \(BZC,BYC\) 

Gọi \(AY\) cắt \(BC\) tại \(K\) thì theo bổ đề cát tuyến ta có :

\({Z'B\over Z'A}= {TB\over TC}.{YB \over YC}={DB \over DC}.{KB \over KA}={AB^2 \over AC^2}\) do \(AD,AT\) đẳng giác

Vậy \(Z'\) là nằm trên đường đối trung đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) hay \(Z\) trùng \(Z'\)

Ta có điều phải chứng minh