Xét dãy số 1,1,2,2,3,3,..., (n-1),(n-1), n, n. Với điều kiện nào của n thì ta có thể sắp xếp lại các số hạng của dãy theo 1 thứ tự khác sao cho với mọi \(1 \leq k \leq n\) , ở giữa 2 số k có đúng k số hạng. Ví dụ : 1,1,2,2,3,3,4,4. Ta có thể sắp xếp lại : 4,1,3,1,2,4,3,2.
Trả lờiLangford problem
Được tạo lúc 2021-05-11 10:26:56 , cập nhật lúc 2021-05-11 10:31:09
hangmina
hangtuan
Làm toán
Bình luận được tạo lúc 2021-05-11 15:15:19Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-11 15:15:19
Nội dung
Ta có thể thấy nếu n =4k+1 hoặc 4k+2 thì không thỏa mãn. Thât vậy.
Ta xét 1 cách sắp xếp thỏa mãn.
Với \(1 \leq k \leq n \) gọi \((i_k,j_k)\) tương ứng là vị trí của số k trong dãy với \(i_k < j_k\). Theo đề bài thì \(j_k-i_k=k+1\)
Thế thì ta thấy ngay : \(\sum i_k + \sum j_k= 1+2+3+...+2n= n(2n+1)\) và \(\sum j_k-\sum i_k=(2+3+..+(n+1) )= \dfrac{1}{2}.n.(n+3)\) (vì \(j_k-i_k=k+1\) với k=1,2,3,...,n).
Đến đây : ta có \(2.j_k= n(2n+1)+\dfrac{1}{2}.n.(n+3)\) là số lẻ nếu n =4k+1 hoặc 4k+2. (vô lý)..