Bài toán về đồng viên trên mô hình đường tròn Euler

Được tạo lúc 2021-05-11 21:47:26 , cập nhật lúc 2021-05-11 22:16:35

Andrenguyen

Chào tất cả mọi người trên diễn đàn. Bài toán "cơ bản" đầu tiên mình muốn mang đến cho mọi người như sau:

\\ Bài toán: Cho tam giác \(ABC, D, E, F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA, AB. O\) là tâm đường tròn Euler của tam giác \(ABC. AO\) cắt \(DE, DF\) lần lượt tại \(J, I\)

\(EO \cap CI = K, BJ \cap FO = H\).

\\a) Chứng minh rằng \(K, D, H\) thẳng hàng.

\\b) \(KH\) cắt \((O)\) tại điểm thứ hai là \(L\). Gọi \(M\) là trung điểm \(EF\). \(D'\) đối xứng \(D\) qua \(O\). Khi đó \(O, M, D', L\) đồng viên.

\\ P/s: Các bạn nào muốn gợi ý thì cứ từ từ hỏi mình, ưu tiên các bạn nữ (Để mình khỏi phải ăn cơm tró của AD ạ!) :)))

Trả lời

Hỏa thần

Bán đèn

Bình luận được tạo lúc 2021-05-12 01:07:07
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-12 01:22:10
Nội dung

Ta gọi \(IE\) cắt \(JB\) tại \(X\). Định nghĩa tương tự \(Y\).
Ta có: \(I(HD,JK)=
I(YF,OK)\).

Ta có: \(J(HD,IK)=
I(HE,OX)\).

Vậy cần chứng minh rằng: \( (HE,OX)=(YF,OK)\) tương đương:

\(CI,BJ,EF\) đồng quy.

Gọi \( CI\cap EF=S\). Ta có: \(\dfrac{SF}{SE}=\dfrac{IF}{CE}\).

Gọi \(BJ\cap EF=S'\), ta có: \(\dfrac{S'F}{S'E}=\dfrac{BF}{JE}\).

Như vậy là ta cần có: \(\dfrac{IF}{CE}=\dfrac{BF}{JE}\).
Hay là cần: \(BI\| CJ\). Gọi \(BI\cap AC=P\) và \(CJ\cap AB=Q\).
Theo tính chất đường trung bình thì: \(I\) là trung điểm \(BP\).
Tương tự \(J\) là trung điểm \(CQ\). Suy ra: \(BI\|CJ\). Ta kết thúc câu a). Câu b) mai gõ nốt =))

Trả lời