Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. Gọi K là trực tâm của tam giác BIC, M là trung điểm AC. Chứng minh rằng KE \(\perp\) MI.
Trả lờiKE vuông góc với MI
Được tạo lúc 2021-05-12 08:44:21 , cập nhật lúc 2021-05-12 08:44:33
12DecMath
breeze.98
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-12 16:12:28
Nội dung
có lộn đề k v
Hoàng Quyền
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-12 22:31:09
Nội dung
Gọi BI giao DE tại G, BI giao KC tại H, IC giao DE tại J, N là trung điểm AB
Theo bổ đề quen thuộc ta có AGB = 90°. Suy ra NGB=NBG=GBC. Vậy NG//BC. Suy ra ba điểm N, G, M thẳng hàng
Ta có: IHC=GJC=90°. Suy ra IG.IH=IJ.IC=ID^2=r^2. Vậy G liên hợp với H ứng với (I). Vậy AG là đường đối cực của H ứng với (I) (1)
Mà DE là đường đối cực của C ứng với (I) (2)
Và NM, DE, AG đồng quy tại G (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra MN là đường đối cực của K ứng với (I). Vậy K liên hợp với M ứng với (I), mà ME là đường tiếp tuyến từ M tới (I) nên M và E liên hợp. Vậy KE là đường đối cực của M ứng với (I)
Suy ra KE vuông góc với IM