Từ bài, ta có các hệ thức sau:

*a²=b.k_2 (1)

*b³=a².k_3 (2)

*a⁴=b³.k_4 (3)

*b^5=a⁴.k_5 (4)

___

➢Ta nhân đôi một hệ thức (1) với (2) và (3) với (4),ta có:

*a⁴.k_2=b⁴.k_3

*a^8.k_5=b^8.k_4

➔(k_2/k_3)² = k_4/k_5 (5)

➢Ta nhân đôi một hệ thức (1) với (4) và (2) với (3),ta có:

*k_5.a^6 =b^6.k_2

*k_4.a^6=k_3.b^6

➔k_2/k_3=k_5/k_4 (6)

Từ (5) và (6) ➔k_2=k_3=k_4=k_5=1

➔a=b (đpcm)

Gọi gcd(a,b)=d thì a=dx, b=dy, (x,y)=1

Giả sử x, y không đồng thời bằng 1.

Khi đó theo quy nạp ta chứng minh được: 

x^2m | d và y^(2n+1) | d

vì x^2m và y^(2n+1) bị chặn trên bởi d mà khi n hoặc m tiến đến dương vô cùng thì x^2m hoặc y^2n+1 tiến đến dương vô cùng => mâu thuẫn

Do đó x=y=1 => đpcm