Thực ra không cần điểm \(K\). Mình sẽ định nghĩa \(I\) là giao của \(PN\) với (Euler) (gọi \(N_a\) là tâm Euler), và sẽ chứng minh \(M, H, I \) thẳng hàng 

Tương tự gọi \(J \) là giao của \(PN\) với \((N_a)\). Ta sẽ đồng thời chứng minh   \(M, H, I \) và \(N, H, J\) thẳng hàng. Gọi \(D = EF \cap BC, T = AH \cap BC\). Có \(I^P_{EF^2}\): \((N_a) \leftrightarrow MN\) nên \(I, J, D\) thẳng hàng. Chú ý \(T\) là điểm Miquel của tứ giác toàn phần \(MJINPD\) nên theo hệ quả của Brocard thì \(AT\) đi qua giao điểm của \(MI, NJ\) và tâm \((MJIN)\). \(A\) lại nằm trên trung trực \(MN\) nên \(A\) là tâm \((MJIN)\). Lại theo Brocard, giao điểm của \(MI, NJ\) là trực tâm \(\triangle ADP\) nên điểm này chính là \(H\).           \(\blacksquare\)