Viết bất đẳng thức lại thành \({\left[ {5\left( {a + b + c} \right) + \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{3abc}}} \right]^2} \ge 108\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Hay \(\left( { - 747{\kern 1pt} {u^2} + 648{\kern 1pt} {v^2}} \right){w^6} + 90{\kern 1pt} u{\left( {3{\kern 1pt} {u^2} - 2{\kern 1pt} {v^2}} \right)^2}{w^3} + 9{\kern 1pt} {\left( {3{\kern 1pt} {u^2} - 2{\kern 1pt} {v^2}} \right)^4} \ge 0\) với \(a+b+c =3u; ab+bc+ca=3v^2; abc=w^3\)

Do \(A=-747u^2+864v^2<0\) nên chỉ cần xét hai trường hợp khi a=0 và b=c. Đến đây xin nhường lại cho các bạn.

Ta đặt \(a+b+c=x\) và \(y=ab+bc+ca\) ( với điều kiện \(x>\sqrt{3}\)), \(x^{2}=2y+3\)

Để ý \((ab+bc+ca)^{2}\geq3abc(a+b+c)\) suy ra \(abc\leq\frac{y^{2}}{3x}\) do đó \(P\geq 5x+\frac{9x}{y^{2}}=5x+\dfrac{36x}{(x^{2}-3)^{2}}\)

Tâ cần chứng minh \(P\geq 5x+\frac{9x}{y^{2}}=5x+\dfrac{36x}{(x^{2}-3)^{2}}\geq18\)

Giờ thì biến đổi tương đương=)