Đề nghị các cháu spam bất ít lại ko chú cho lên phường 😐

Ta có: \((a-1)(b-1)(c-1)\)\(\geq 0\) suy ra \(abc+a+b+c\)\(\geq ab+bc+ca+1\) (1)

           \((2-a)(2-b)(2-c)\)\(\geq 0\) suya ra \(8+2(ab+bc+ca)\)\(\geq abc+4a+4b+4c\)

    suy ra \(abc+6\)\(\geq2(a+b+c)\)

    TH1: \(a+b+c\)\(\geq4\)

           \((a-1)(a-2)(a^2+3a+7)\)\(\leq 0\)

       ⇔ \(a^4\)\(\leq 15a-14\)

            Ta chứng minh: \((2+8abc)\)\(\geq 15(a+b+c)-42\)

                                ⇔ \(16(a+b+c)-46\)\(\geq 15(a+b+c)-42\)

                                ⇔ \(a+b+c\)\(\geq4\) ( đúng )

TH2: \(a+b+c\)\(\leq4\)

     \((a-1)(a-2)(a^2+3a+2)\)\(\leq0\)

  ⇔ \(a^4+b^4+c^4+12\)\(\leq 5(a^2+b^2+c^2)\)

 Ta có \((a-1)(b-1)\)\(\geq 0\)

 Tương tự suy ra: \(ab+bc+ca\)\(\geq 2(a+b+c)-3\)

  Kết hợp với (1) suy ra \(8abc\)\(\geq 8(a+b+c)-16\)

 Ta chứng minh \(8(a+b+c)-2\)\(\geq 5(a^2+b^2+c^2)\) (2)

mà \((a-1)(a-2)\)\(\leq 0\) ⇔ \(a^2+b^2+c^2\)\(\leq 3(a+b+c)-6\)

(2)⇔ \(a+b+c\)\(\leq4\) ( đúng )

Vậy \(2+8abc\)\(\geq a^4+b^4+c^4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=1,b=1,c=2\) và hoán vị của chúng