Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp nhọn (AB<AC) \((O)\) ngoại tiếp \((I)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Lấy \(K\) đối xứng \(I\) qua \(M\). Gọi \(P\) là trung điểm cung \(BC\) không chứa \(A\) của \((O)\). \(PK\cap (O)=Q\neq P\). Chứng minh rằng \(QA=QB+QC\).
Trả lờiQA=QB+QC
Được tạo lúc 2021-05-13 23:32:50 , cập nhật lúc 2021-05-14 00:16:56
Hỏa thần
Chỉ Làm Bài Dễ Không Làm Bài Khó
Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-14 00:50:27
Nội dung
Gọi \(QB,QC\) cắt đường thẳng qua \(I\) song song với \(PQ\) tại \(F,E\) và \(QM\) cắt \(EF\) tại \(D\)
Ta có :\(\angle AIE= \angle APQ=\angle ACE\) hay ta có tứ giác \(AICE\) nội tiếp đường tròn
Mà \(\angle AEC=\angle PIC\) và \(\angle AQE=\angle APC=\angle IPC\) nên ta có \(\triangle QAE \sim \triangle PCI (g.g)\) mà do \(PI=PQ\) tính chất tâm nội tiếp nên ta có \(QA=QE\)
Tương tự ta có được \(QA=QE=QF\)
Dễ có \(DIQK,BDCQ\) là hình bình hành nên \(CD \| QF\) mà \(\triangle QFE\) cân nên \(\triangle DCE\) cân
Vậy ta có \(QB+QC=CD+QC=CE+QC=QE=QA\) hay điều phải chứng minh