Khương Nguyễn
Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp \((I)\). \(ID\perp BC(D\in BC)\). \(DS\) là đường kính \((I)\). \(AS\cap BC=X\).
a) Gọi tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc A với BC tại P. Định nghĩa tương tự Q,R. Chứng minh rằng \(AP,BQ,CR\) đồng quy tại \(N\).(Đây là định nghĩa điểm \(Nagel\)).
b) Chứng minh rằng: \(NX=AS\).
Trả lời
Cho e spam 2 chỗ
a, Có kết quả quen thuộc: \(A;S;P\) thẳng hàng
suy ra \(P\) trùng \(X\)và \(CP=BD=\dfrac{AB+BC-AC}{2}\)
tương tự: \(CQ=AF;AR=BE\)
Nên : \(AQ=CF=DC=BP;CP=BD=BE=AR;BR=AE=AF=QC\)
Nên \(\dfrac{AQ}{QC}.\dfrac{CP}{BP}.\dfrac{BR}{AR}=1\)
Suy ra 3 đường \(AP;BQ;CR\) đồng quy tại \(N\) (định lí Céva phần đảo)
b, Với \(P\) trùng \(X\)
Xét tam giác \(ABX\)
có: \(R;N;C\) thẳng hàng
Nên \(\dfrac{AR}{RB}.\dfrac{CB}{CX}.\dfrac{NX}{NA}=1\)(Menelaus thuận)
Mà \(RB=CX\)
nên \(\dfrac{NA}{NX}=\dfrac{CB}{RB}=\dfrac{BC}{\dfrac{AB+AC-BC}{2}}=\dfrac{2BC}{AB+AC-BC}\)
Suy ra $$\dfrac{AX}{NX}=\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC-BC}=\dfrac{2AK}{2AF}=\dfrac{AK}{AF}$$
Mà $$\dfrac{AK}{AF}=\dfrac{AE_1}{AI}=\dfrac{AX}{AS}$$
Vậy $$AS=NX$$