Cho các số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh rằng:
\(\sum \dfrac {b^3+2}{a^3+b+2}\)\(\geq \dfrac {9}{4}\)
Trả lờiBđt
Được tạo lúc 2021-05-17 17:24:01 , cập nhật lúc 2021-05-18 07:58:57
Ẩn danh
viscolt
Học sinh
Bình luận được tạo lúc 2021-05-17 18:26:02Chỉnh sửa lần cuối vào 2021-05-17 18:26:55
Nội dung
- Trước tiên, ta chứng minh được: \(b \le \dfrac{b^3+2}{3}\) \(\Leftrightarrow \left(b-1\right)^2(b+2) \ge 0\) (Đúng)
$$\Rightarrow P \ge \sum{\dfrac{2+b^3}{2+ \dfrac{b^3+2}{3} +a^3}}= \sum{\dfrac{3(2+b^3)}{(b^3+2)+3(a^3+2)}}$$
-Đặt: \(\left(a^3+2,b^3+2,c^3+2\right)=(x,y,z)\)
$$\Rightarrow P \ge 3\sum{\dfrac{y}{y+3x}} \ge \dfrac{9}{4} \left(\text{theo C-S}\right)$$
-Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a=b=c=1\)