Đặt \(a+b+c=1,ab+bc+ca=\dfrac{1-t^2}{3}\quad (\,0 \leqslant t \leqslant 1\,).\)

Ta tìm một biểu thức X sao cho:

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant X,$$

hay là $$\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)  \geqslant p \left( a-b \right)  \left( b-c \right)  \left( -c+a \right), $$

hay

\(\Big[\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)\Big]^2 \geqslant p^2 (-4\,r{p}^{3}+{p}^{2}{q}^{2}+18\,pqr-4\,{q}^{3}-27\,{r}^{2})\)

hay $$f(r)=\left( 4{X}^{2}+4Xp+28{p}^{2} \right) {r}^{2}+ \left( -4\,q{p}^
{2}X-20{p}^{3}q+8{q}^{2}X+4p{q}^{2}+4{p}^{5} \right) r+4\,{q}^
{4}\geqslant 0$$ 
Ta chọn biểu thức X sao cho$:$

\(\Delta_r =\\ 16\, \left( {X}^{2}{p}^{2}{q}^{2}-4\,{X}^{2}{q}^{3}-22\,Xp{q}^{3}-2\,X
{p}^{5}q+14\,X{p}^{3}{q}^{2}-27\,{q}^{4}+27\,{p}^{4}{q}^{2}+{p}^{8}-10
\,{p}^{2}{q}^{3}-10\,{p}^{6}q \right) {p}^{2} =0,\)
or \(X_{\text{1},\,\, \text{2}}={\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}\pm 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q
 \right) q}}\)

Chọn $$X = {\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}+ 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q
 \right) q}},$$

có nghĩa là $$X={\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) 
 \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }}.$$

Từ đó $$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) 
 \left( t+1 \right)  \left( 1+2\,t \right) }}.$$

Qua kỳ thi vào 10 mình sẽ viết một bài về ứng dụng của nó. (Lúc trước có viết trên diễn đàn VMF nhưng sau này bị mất rồi)

Ghé thăm blog mình nhé tthnew's blog - AoPS