Vừa mới tuần trước trong 1 đề thi thử vào 10 của quận Cầu Giấy đã có bài cuối như sau:

Bài toán. Cho x,y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=2x^2-2xy+y^2-3x+\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x-2}+2021\).

Đây là một bài toán thú vị và nhẹ nhàng, đẹp nhưng không quá khó. Phương pháp là tách ghép sao cho phù hợp.

Ta có: \(P=(x-y)^2+x^2-3x+\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x-2}+2021\geq x^2-3x+\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x-2}+2021\),

\(x^2-4x+4+x+\dfrac{4}{x}-\dfrac{3}{x}+2\sqrt{x-2}+2017\geq(x-2)^2+2\sqrt{x-2}+2\sqrt{x.\dfrac{4}{x}}-\dfrac{3}{2}+2017\)

\(\geq 0+0+2.2-\dfrac{3}{2}+2017=\dfrac{4039}{2}\).

Vậy tóm lại giá trị nhỏ nhất của \(P \) là \(\dfrac{4039}{2} \)đạt tại \(x=y=2\).

Bình luận. Đây là 1 bài toán hay, kiến thức sử dụng nhẹ nhàng, gợi lại âm hưởng của các bài toán cuối trong đề thi những năm 2010.