Đề thi tuần 1

Bài 1(3 điểm). Cho \(a,b,c,d\) là các số thực dương. Tìm \(MinP=\sum\left(\dfrac{a}{a+b+c}\right)^2\).

Bài 2(3 điểm). Cho \(p=\overline{abcd}\) là số nguyên tố có 4 chữ số. Chứng minh rằng đa thức \(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) không thể phân tích thành tích hai đa thức hệ số nguyên.

Bài 3(5 điểm). Tìm tất cả các hàm \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) sao cho: \(f(x^2+f(y))+f(2xy+y^2)=f^2(x+y)+y\) \(\forall x,y\in \mathbb{R}\).

Bài 4(5 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \((O)\) có trực tâm \(H\). \((BOH)\cap AB=B,F\) và \((COH)\cap AC=C,E\). Chứng minh rằng đường tròn Euler của tam giác \(AEF\) tiếp xúc đường tròn Euler của tam giác \(ABC\)

Bài 5(4 điểm). Cho tứ diện \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB+CD,AC+BD,AD+BC\) là độ dài 3 cạnh 1 tam giác thì tam giác đó là tam giác nhọn. 

viết chay với viết ý nộp được không chữ chắc cũng đọc đươc hoặc không

1. Bạn Phan Vĩnh Tiến-Phú Yên. Trình bày quá tốt và cẩn thận. Chữ k đẹp lắm nhưng viết rất chi tiết đầy đủ. Ngoài ra bạn còn cm TH tổng quát của bài 2. Xin tặng bạn 1 điểm. Bạn được 16 điểm.

2. Bài làm tiếp theo là của bạn Phan Đình Trung-10 CBH-Hà Nam. Bạn làm bài hàm hoàn toàn khác cách giải của mọi người khi chia trường hợp và giải quyết khúc sau của bài toán bằng đơn điệu liên tục(một cách giải hết sức thú vị dựa trên việc đánh f(f(x)). Nhưng có vẻ phức tạp, dẫu sao cách giải cho thấy sự suy nghĩ của bạn có đầu tư và cực kì nghiêm túc.

3. Tập thể MPAB Admin đã giải quyết tất cả các bài toán xong số điểm các bạn nhận sẽ là 18 điểm(vì lần trước chấm mới tính dc 13 điểm).

4. Bạn Nguyễn Quang Huy-10 Toán 1 CBH Hà Nam:

   Bài 1,2 giải tốt(bài 2 có cách sử dụng bất đẳng thức cho hệ số hay). Bài 3 cần chứng minh lại pth Jensen.

   10 điểm bỏ túi.

5. Bạn Quang Huy(Chuyên QH Huế). bài 2 Dùng dao mổ trâu nhưng vẫn chính xác :)) Bài hàm làm giống bạn Quang Huy CBH nhưng lại lười không thử lại nên bị sai nghiệm(bạn này cẩn thận cm lại Jensen mà lại lười k thử lại nghiệm). Bạn bỏ túi 10 điểm. 

6.  Bạn Khải Hoàn có lời giải cực ngắn cho bài 2 nhưng lập luận có vẻ chưa chặt chẽ. Bài bđt thì bạn làm tốt. Khá khen cho Latex của bạn. Tạm thời bạn có 5 điểm bỏ túi.

7. Bạn Trần Sơn Tùng được 12 điểm

8. Bạn Nguyễn Đình Tuấn Minh được 12 điểm.

Kì thi OLP Toán Lim Club Tuần 2

Bài 1(3 điểm). Cho tam giác \(ABC\) có 3 cạnh là số nguyên và góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất. Tìm chu vi tam giác này.

Bài 2(3 điểm). Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) biết rằng: tiếp tuyến song song \(BC\) của đường tròn nội tiếp cắt \(AC,AB\) tại \(E,F\) thì \(\dfrac{S_{IEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{8}\).

Bài 3(4 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên: \(y^2=x^3+4x\).

Bài 4(5 điểm). Tìm tất cả các hàm \(f: \mathbb{N^*}->\mathbb{N^*}\) sao cho: \(f(f(n))+f(n+1)=n+2\) với mọi \(n\in N^*\)

Bài 5(5 điểm). Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \((O)\). \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Đường tròn đường kính \(AH,BH,CH\) cắt lại \((O)\) tại \(X,Y,Z\) lần lượt khác \(A,B,C\). Gọi \(AX,BY,CZ\) cắt nhau tạo ra tam giác \(PQR\). \(L\) là điểm \(Lemoine\). Chứng minh rằng \(HL\) đi qua tâm \((PQR)\). 

Kết Quả OLP Toán Lim Tuần 2

Bài 1 khiến nhiều bạn khá lấn cấn. Nhưng thực ra cũng không vấn đề gì lắm :)) Có các bạn sau giải tốt Trần Sơn Tùng, Nguyễn Quang Huy, Đoàn Duy Tùng. Bạn Phan Vĩnh Tiến giải đoạn cuối k chính xác. Bạn Phan Trung làm quá ẩu đoạn kết luận nghiệm theo Pell nên k được điểm đoạn cuối. Cá biệt có bạn Nguyễn Khải Hoàn giải sai bài này một cách khá ngô nghê.

Bài 2 đa phần các bạn làm đúng. Nó không khó.

Bài 3 có nhiều bạn làm đúng. Cách của bạn Quang Huy khá hay, nhưng trình bày hơi dài. Bạn Nguyễn Khải Hoàn thiếu nghiệm.

Bài 4 là 1 bài quen nên khá nhiều bạn làm được ý tưởng bài này cũng cực kì độc. Xin lấy lời giải của bạn Đoàn Duy Tùng vì nó khá chỉn chu.

Bài 5 thì có 3 bạn là Nguyễn Quang Huy, Đoàn Duy Tùng(làm 2 cách), và bạn Trần Sơn Tùng làm được nhưng mình ấn tượng nhất với cách làm của Sơn Tùng. Bổ đề của bạn rất hay nhưng cm thì k đẹp(xin nhường các bạn suy ngẫm). Phan Trung k cm bổ đề là cả bài 5 luôn nên là được 0 điểm.

Tổng kết tuần 2:

Đoàn Duy Tùng: 20 điểm.

Nguyễn Quang Huy: 19 điểm.

Trần Sơn Tùng: 17 điểm

Trung Phan: 15 điểm.

Phan Vĩnh Tiến: 13 điểm.

Nguyễn Đình Tuấn Minh: 12 điểm

Nguyễn Quang Huy: 9 điểm

Tô Gia Bảo: 7 điểm

Nguyễn Khải Hoàn: 5 điểm(giữ vững phong độ :))) từ tuần 1)

Các bạn xem lời giải tại đây <3