e nhớ hồi lớp 9 tụi em có làm một bài cũng kiểu như này  Cho \(f(x)=x^2+ax+b\) là một tam thức bậc hai có 2 nghiệm thực \(x_{1}, x_{2}\)và \(f(f(x))=0\) có 4 nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tổng của 2 trong 4 nghiệm đã cho bằng -1. Chứng minh \(\displaystyle b\leqslant \frac{-1}{4}\)

Ý tưởng của bài đó là xét 2 phương trình nhỏ \(f(x)=x_1\) và \(f(x)=x_2\) , tìm nghiệm của 2 phương trình này :)) thì nghiệm của 2 phương trình này cũng chính là nghiệm của \(f(f(x))=0\), nên e chắc bài 5 cũng đi theo hướng này, tìm nghiệm của \(f(x)=x^3-3x+1\),, có 3 nghiệm \(x_1,x_2,x_3\) nào đó rồi thay vào giải \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} f( x) =x_{1} & \\ f( x) =x_{2} & \\ f( x) =x_{3} & \end{array} \right.\)

p/s : e ra được 7 nghiệm 

góp vui 1 bài

Bài 4 . Tìm tất cả các hàm số \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) thỏa mãn \(f( f( x+y)) =f( x+y) +f( x) f( y) -xy,\forall x,y\in \mathbb{R}\) ( Belarus 19??)

Lời giải B4: 

Giả sử tồn tại \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn: \(f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)−xy,∀x,y ∈ \mathbb{R}\) (1)

Thay \(y=0\) vào (1), có: \(f(f(x))=[f(0)+1]f(x)\) (2)

Áp dụng (2) vào (1), có: \(f(0)f(x+y)=f(x)f(y)−xy\) 

TH1: \(f(0) \neq 0\). Với \(x,y,z \neq 0\), xét: 

\(f(0)f(x+y+z)=f(x)f(y+z)-x(y+z)=\frac{f(x)f(y)f(z)-f(x)yz}{f(0)} -xy -xz\)

\(f(0)f(x+y+z)=f(y)f(x+z)-y(x+z)=\frac{f(y)f(x)f(z)-f(y)xz}{f(0)} -yx -yz\)

\(\implies \frac{f(x)yz}{f(0)} + xz=\frac{f(y)xz}{f(0)} + yz\) .Do \(z \neq 0\) nên ta suy ra: \(\frac{f(x)y}{f(0)} + x=\frac{f(y)x}{f(0)} + y \implies \frac{\frac{f(x)}{f(0)}-1}{x}= \frac{\frac{f(y)}{f(0)}-1}{y} \) với mọi \(x,y \in {\mathbb{R}}^{*}\)

hay \(f(x)=bf(0)x+f(0)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Thử lại, ta thấy không thỏa mãn.

TH2: \(f(0)=0\) ta suy ra: \(f(x)f(y)=xy\). Dễ thấy hàm đồng nhất bằng \(0\) không thỏa mãn nên tồn tại \(x_0 \) sao cho \(f(x_0) \neq 0\). Cho \(y=x_0\) ta suy ra \(f(x)=ax\). Thử lại thấy \(a=1\)

Vậy, \(f(x)=x\) là hàm duy nhất thỏa mãn đề bài.

Bài 5: Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn: \(f(x+y)-f(x-y)=f(f(1-xy))\)

Bài 5. \(f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-xy))\)

Thế \(y=0\) thì ta được \(f(f(1))=0\), và thế \(x=0\) thì ta sẽ chứng minh được \(f\) là hàm chẵn. Mặt khác thế \(y=1\) ta được \(f(x+1)=f(x-1)+f(f(1-x))\rightarrow f(x)=f(x-2)+f(f(x-2))\) do là hàm chẵn. Ngoài ra ta cũng có \(f(f(xy-1))+f(f(xy+1))=0\)

Khi đó ta có \(f(x+2)=f(x)+f(f(x))\rightarrow f(x)+f(x+2)=f(x)+f(x-2)+f(f(x))+f(f(x-2))\)nên \(f(x+2)=f(x-2)\) hay \(f(x)=f(x-4)\)

. Từ đây ta dễ dàng chỉ ra \(f(f(t))=0\) với mọi số thực \(t\). Thế \((x,y) \rightarrow (\displaystyle \frac{x-y}{2},\displaystyle \frac{x+y}{2})\)ta có được \(f(x)=f(y)=const=0\)