Bài 2. Tìm tất cả các hàm \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) thỏa mãn: \(f(xy+f(x))=x+f(xf(y))\) với mọi \(x,y\in \mathbb{R}\)

f(xy+f(x))=x+f(xf(y)) -- (1)

Giả sử f là nghiệm hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đặt f(0)=x, thay x=0 vào (1) ta được: f(c)=c.

Thay x=c, y=0 vào (1) ta được: f(f(c))=c+f(c^2) suy ra f(c^2)=0

Thay x=c^2, y=c vào (1) ta được: f(c^3)=c^2+f(c^3) suy ra c=0. Vậy f(0)=0

Thay y=0 vào (1) ta được: f(f(x))=x.

Thay x=1,y=x vào (1) ta được: f(x+f(1))=x+1, suy ra f(x)=x+1-f(1)=x+c. Thử lại ta thấy có f(x)=x và f(x)=x+2 thỏa mãn

Bài 3: Tìm tất cả các hàm số \(f\): \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) thỏa mãn:

                                                    \(f(f(x)+y)=f(x^2)+2yf(x)+f(y)\)

https://artofproblemsolving.com/community/q1h1884496p12834562

Bài 5. Cho đa thức \(f(x)=x^3-3x+1\). Tìm số nghiệm thực phân biệt của \(f(f(x))=0\).