Bài 3: USA 2003

https://math.stackexchange.com/questions/721834/prove-that-n77-can-never-be-a-perfect-square

Bài 4. Cho dãy số \(u_n\) được xác định bởi: \(u_1=2; u_{n+1}=2^{u_n}\) với \(n=1,2,...\).

Chứng minh rằng với mọi \(n\geq 2\) ta có: \(u_n\equiv u_{n-1}(mod m)\) với mọi \(m\leq n\).

Lời giải bài 4 của em ạ

E xl vì không biết gõ latex, phần tải ảnh lên thì nó bắt sao chép url gì đó; nên em làm như này ạ :(

Bài toán 5. Cho \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Gọi \(p\) là số nguyên tố thỏa mãn:

i) p là ước của \(a^2+ab+b^2\).

ii) p là ước của \(a^5+b^5+c^5\).

iii) p không là ước của \(a+b+c\).

Chứng minh rằng \(p\equiv 1 mod 6\).

Lời giải bài toán 5.

+) Giả sử \(p \) chẵn ⇒ \(p=2 \). Theo giả thiết, ta có: \(2|\)\( a^5 + b^5 + c^5 \), \(2\) không là ước của \(a+b+c\) ⇒​​​​​​​ \(2\) không là ước của \(A= \) \(a(a^4 - 1) + b(b^4 - 1) + c(c^4 - 1) \) mà \(a(a^4 - 1), b(b^4 - 1), c(c^4 - 1)\) luôn chẵn ⇒ mâu thuẫn⇒ \(p\) lẻ hay \(p-1\) chia hết cho \(2\) (1)

+) Lại có: \(a(a^4 - 1) = a(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) \) chia hết cho \(3\) ⇒ Tương tự, ta suy ra \(A \) chia hết cho \(3\) mà \(A\) không chia hết cho \(p\) ⇒​​​​​​​ \(p\) khác \(3\) ⇒ \((p,3)=1 \)

+) Có: \(a^2 + ab + b^2\) chia hết cho \(p\) ⇒ \((2a+b)^2 + 3b^2 \) chia hết cho \(p \) ⇔ \(-3b^2 \equiv (2a+b)^2\) (mod \(p\)) mà \((p,3)=1\) ⇒ \((\dfrac{-3}{p}) = 1\) mà \(p\) lẻ ⇒ \((\dfrac{3}{p}) = (-1)^{\dfrac{(p-1)}{2}}\) .Mặt khác, theo luật thuận nghịch bình phương Gauss, có: \((\dfrac{p}{3})(\dfrac{3}{p}) = (-1)^{\dfrac{p-1}{2}}\) ⇒ \((\dfrac{p}{3}) = 1\) ⇒ \(p\) là số chính phương mod \(3\) ⇒ Tồn tại số nguyên \(x\) sao cho \(p \equiv x^2\) (mod \(3\)) mà \((p,3)=1\) nên \((x,3)=1\)⇒​​​​​​​ \(p \equiv x^2 \equiv 1\) (mod \(3\)) hay \(p-1\) chia hết cho \(2\) (2)

+) Từ (1) và (2), kết hợp với \((2,3)=1\) suy ra \(p-1\) chia hết cho \(6\) hay \(p\equiv1\) (mod \(6\)) (đpcm)