Bài toán 6. Cho \(m,n\in Z^+\) sao cho: \((m+3)^n+1\) chia hết cho \(3m\). Chứng minh rằng \(\dfrac{(m+3)^n+1}{3m}\) là số lẻ 

Ta có: \((m+3)^{n} +1 \equiv 0(mod 3m)\)

Nhận xét: m nguyên tố cùng nhau với 3 nên kéo theo n lẻ

TH1: m lẻ thì suy đpcm

TH2: m là số chẵn

Ta sẽ chứng minh rằng: \(v_{2}((m+3)^{n}+1)=v_{2}(m)\)

Đặt: \(m=2^{a}k\) với k là số nguyên dương lẻ suy ra: \(v_{2}((m+3)^{n}+1) \geq a\)

Khai triển biểu thức \((m+3)^{n}+1=....+3^{n}+1\)(Cái .... em không biết đánh Latex sao ;-;)

Có: \(3^{n}+1=(3+1)(3^{n-1}-3^{n-2}+...+1)\) cái cụm phía sau lẻ do n lẻ nên \(v_{2}(3^n+1)=2\). Đặt cụm phía sau là A

Do đó: \((m+3)^{n}+1=(2^{a}k+3)^{n}+1=4(2^{an-2}.k^{n}+...+C^{n-1}_{n}2^{a-2}k^{n-1}+A)\)(A lẻ)

Nếu xét a>2 thì chắc chắn \(v_{2}((m+3)^{n}+1)=2\) kéo theo a<= 2 điều này là vô lí

Do đó: a không vượt quá 2(*)

Từ đây xét TH bằng 1 và 2 cũng khai triển tương tự và cm cụm phía sau lẻ như trên là có đpcm

Bài toán 7. Chứng minh tồn tại dãy vô hạn \({p_n}\) các số nguyên tố phân biệt có tính chất: \(p\equiv 1(mod 1999^4)\)

Xét dãy u_n=1999^4.n+1

Theo định lí dirichlet về số nguyên tố ta có dãy này có vô hạn số nguyên tố -> đpcm

Em đề xuất một bài nữa về định lí số nguyên tố

Cho m là một số nguyên chia 8 dư 7. Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho (a,m)=1, tồn tại dãy x_n thỏa mãn:

\(+) \,x_1=a\)

\(+) x_n^2 +m \, chia\, hết \, cho\, 2^{2^{n}}\)

\(+) \, Tồn \, tại\, số\, N\, đủ \, lớn \, để\, x_n\, là \, số\, nguyên\, tố\, với\, mọi \, n>N \, và\, x_{n+1}^2+m \,chia \,hết\, cho\, x_n^2+m\)