Bài toán 35.

Lời giải bài toán 35.

Bài toán 36.

Lời giải bài toán 36.

Chào mọi người, tiếp tục với chuyên mục này là một bài toán nhẹ nhàng mở đầu cho tháng mới này.

Bài toán 37.

Lời giải bài toán 37.

Bài toán 38.

Bài 38:

Ta thấy rằng chỉ cần xét những dòng, những cột đã bị thay đổi số lẻ lần, và bài toán quy về đếm số ô bị tác động chẵn lần.

Gọi \(p\) là số dòng bị thay đổi số lẻ lần, \(q\) là số cột bị thay đổi số lẻ lần. Khi đó ta thấy sẽ có 2 nhóm các ô bị tác động số chẵn lần.

Nhóm thứ nhất gồm các ô không thuộc vào \(p\) dòng, \(q\) cột này. Nhóm thứ hai gồm những ô là giao điểm của  \(p\) dòng, \(q\) cột này.

Số các ô thuộc vào nhóm thứ nhất là \((34-p)(34-q)\) ô, còn số ô thuộc vào nhóm thứ hai là \(pq\) ô.

Và như thế số ô bị tác động chẵn lần, hay số dấu cộng còn lại đúng bằng \((34-p)(34-q)+pq\) ô.

a)  Ta đưa về phương trình nghiệm nguyên: \((34-p)(34-q)+pq=17\).

Suy ra \(34^2-34p-34q+2pq=17\), tới đây ta thấy điều vô lý do vế trái của đẳng thức là một số chẵn, trong khi vế phải lại là một số lẻ.

Vì vậy mà sau một vài phép biến đổi thì ta sẽ không thể thu được 17 dấu +.

b) Ta có \(34^2-34p-34q+2pq=8\Leftrightarrow17^2-17p-17q+pq=4-17^2\Leftrightarrow(17-p)(17-q)=-15.19\)

Do 19 là số nguyên tố nên hoặc \(17-p\) chia hết cho \(19\), hoặc \(17-q\) chia hết cho 19.

Nhưng để ý rằng \(p,q\in\{ 1;2;...;34 \}\) nên \(|17-p|\leq17, |17-q|\leq17\), kéo theo \(17-p\) và \(17-q\) đều không thể chia hết cho 19.

Vì vậy mà không tồn tại \(p,q\) thỏa mãn đẳng thức trên, tức là sau một số phép biến đổi không thể còn 8 dấu +.