Bài này chỉ đơn thuần là đếm.

Hint: Có dùng chia kẹo Euler.

Geometry Man

Cảm ơn bạn với làn gió mới này. Mong bạn duy trì sự theo dõi của bài viết này. Tức là tiếp tục viết các bài toán khác vào chung post này. 

Học sinh

Đáp án:

$$\binom{2020}{2}$$

Để tạo thành tam giác thì PA, PB, PC là 3 trong số 2021 tia được chọn.

Quy ước diện tích của mỗi tam giác con tạo thành là 1 đơn vị diện tích. Thì

$$S_{ABC}=2021$$

Ta thấy P nằm trong tam giác là một "điểm tốt" khi và chỉ khi

$$S_{APB}, S_{BPC}, S_{CPA}$$ là các số nguyên dương.

$$Đặt: S_{BPC}=x, S_{CPA}=y, S_{APB}=z. Thì: x+y+z=2021 (1)$$ .

Theo hệ thức Jacobi:

$$S_{BPC}\overrightarrow{PA} + S_{CPA}\overrightarrow{PB} + S_{CPA}\overrightarrow{PB} = \vec{0}$$ .

Cho nên với mỗi bộ (x,y,z) thỏa mãn (1) tương ứng duy nhất một điểm P thỏa mãn

$$S_{BPC}=x, S_{CPA}=y, S_{APB}=z$$ .

Vậy số "điểm tốt" tương ứng số nghiệm nguyên dương của phương trình (1).

Đáp án của Math1922 chuẩn rồi ạ.

Bài 2 (Tổ hợp - Sưu tầm). Trên bàn có $2020$ viên kẹo. A và B chơi một trò chơi như sau: Đầu tiên A ăn $k$ viên kẹo, với $k>0$. Các lượt sau đó, cả A và B đều phải ăn một số kẹo thuộc $\{1; 2; ...; k\}$. Người ăn được viên kẹo cuối cùng sẽ là người chiến thắng. Tìm $k$ để A có chiến thuật thắng.

P/s: Mọi người có thể thử mua kẹo về và chơi thử để tìm ra đáp án. 😀