Khương Nguyễn
Nhân các bạn đang sắp sửa bước vào kì thi chuyên căm go. Còn tầm 1 tháng để ôn tập. Các bạn có thể gởi bài và giải(sau khi giải xong thì post nội dung bài mới luôn) vào box này trong phần trả lời. Mọi người chú ý. Nếu đăng bài toán mới thì phải giải được bài toán trước và tăng thứ tự bài toán và nếu 1 ngày không có giải thì ad sẽ đăng bài mới.
Bài toán 1(Kiểm tra chất lượng CLB Toán Lim Lớp 9).
Tìm \(x,y,z\) là các số nguyên tố sao cho: \(x^y+y^x=z\).
Trả lời
Kẻ đường kính CX của (ABC), khi đó H, X, N thẳng hàng. Ta có XN // AP (cùng vuông góc với NE), AX // NP (cùng vuông góc với AC).
Do đó tứ giác APNX là hình bình hành nên tứ giác APHN là hình bình hành.
Tương tự tứ giác AMHQ là hình bình hành nên ba đường thẳng AH, NP, MQ đồng quy tại trung điểm D của mỗi đường.
Lại có HP // AN nên \(\widehat{HPR}=90^{\circ}\). Tương tự \(\widehat{HQR}=90^{\circ}\) nên tứ giác HPRQ nội tiếp.
Mặt khác, dễ thấy \(\widehat{PHQ}=\widehat{BAC}\) và \(\frac{HP}{HQ}=\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}\) nên \(\Delta HPQ\sim\Delta ABC\) (c. g. c).
Kẻ tiếp tuyến Hm của đường tròn (BHC). Ta có \(\widehat{PHm}=90^o-\widehat{CHm}=90^o-\widehat{HBC}=\widehat{ACB}=\widehat{HQP}\) nên Hm tiếp xúc với (HPQ) hay (PQR).
Vậy ta có đpcm.
Bài toán 16: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB<AC. (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại D. Tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại S. AS cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng ∠AKI=∠DAI
Bài toán 17. Trong mặt phẳng cho \(2n\) điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, có \(n\) điểm đỏ, và \(n\) điểm xanh. Chứng minh rằng tồn tại 1 cách nối tất cả các điểm đỏ với các điểm xanh bởi \(n\) đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng có hai đầu mút khác màu mà không có hai đoạn nào cắt nhau.
Bài 17:
Trong các cách nối n điểm đỏ với n điểm xanh bằng n đoạn thẳng trong đó đầu mút của mỗi đoạn thẳng là khác màu, chọn cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ nhất.
Giả sử trong cách nối đó, n điểm đỏ là \(D_1;D_2;...;D_n\) nối với n điểm xanh là \(N_1;N_2;...;N_n\) bằng n đoạn thẳng \(D_iN_i(i\in\overline{1,n})\).
Giả sử tồn tại 2 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng đó cắt nhau tại O (Chẳng hạn như \(D_1N_1\) và \(D_2N_2\)). Khi đó ta có \(D_1N_1+D_2N_2=(ON_1+OD_2)+(ON_2+OD_1)>N_1D_2+N_2D_1\).
Do đó cách nối n điểm đỏ với n điểm xanh bằng n đoạn thẳng \(N_1D_2,N_2D_1,N_3D_3,...,N_nD_n\) sẽ có tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ hơn cách nối 2n điểm ấy bằng n đoạn thẳng \(N_1D_1,N_2D_2,...,N_nD_n\), vô lí.
Vậy tồn tại cách nối thỏa mãn đề bài.
Bài toán 18*. Gọi \(x\) là tổng các chữ số của số \(2^{9^{1945}}\). \(y\) là tổng các chữ số của \(x\). Tìm tổng các chữ số của \(y\).