Dễ dàng chứng minh được \(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1\)

Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=a;\dfrac{y}{y+1}=b;\dfrac{z}{z+1}=c\)

sau khi biến đổi tương đương ta có: \(x=\dfrac{a}{b+c};y=\dfrac{b}{c+a};z=\dfrac{c}{a+b}\)

nên điều phải chứng minh tương đương

\(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c} \geq 4(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b})\)

Có \(\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}=a.(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+b.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c})+c.(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a})\)

\(\geq 4(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b})\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

P/s: A Khương chữa mấy bài chưa ai sol a ơi

Bài toán 18.

Đặt \(A=2^{9^{1945}}\) và \(z\) là tổng các chữ số của \(y\). Ta có: \(A<10^{5835}\) suy ra: \(x\leq 9.5835=52515\Rightarrow y\leq 5+4.9=41\Rightarrow z\leq 4+9\). 

Chú ý rằng: \(z\equiv y\equiv x\equiv A\equiv 8(mod 9)\Rightarrow z=8\)

Bài toán 24. Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BF,CE\). \(MN\cap BE,CF=P,Q\). \(I\) là trung điểm \(PQ\).

a) Chứng minh rằng: trực tâm tam giác \(HPQ\) nằm trên \(EF\).

b) Gọi \(IH\cap EF=K\). Cmr trực tâm tam giác \(HPQ\) thuộc đường tròn \((KPQ)\). 

Nguồn: Từ thầy Nguyễn Tiến Dũng. 

P/s: mình mới update đề

Bài toán 25. Tìm phần nguyên của \(A=\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+8x+3}}}\) với \(x\in \mathbb{Z^+}\)

Bài 25:

-Ta có:

$$A= \sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+8x+3}}} > \sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+8x+1}}} \\ = \sqrt{x^2+\sqrt{4x^2 +4x+1}} =\sqrt{x^2+2x+1} = x+1$$

-Mặt khác, dễ thấy: \(12x^2+32x+16 > \sqrt{16x^2+8x+3}\)

$$\Rightarrow A < \sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+12x^2+32x+16}} = \sqrt{x^2+\sqrt{(4x+4)^2}}\\=\sqrt{x^2+4x+4}=x+2$$

 Vậy \(\left[A\right]=x+1\).