Bài toán 9. Cho \(a,b,c\geq 0: a+b+c=1\). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \(P=(1-4ab)^2+(1-4bc)^2+(1-4ca)^2\).

Bài toán 10: (Sưu tầm) Cho tam giác \(ABC (AB<AC)\) nội tiếp \((O)\), đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Tiếp tuyến của \((O)\) tại \(B,C\) cắt nhau tại \(T\). \(S\) đối xứng với \(T\) qua \(BC\). \(SB,SC\) cắt \(EF\) tại \(J,N\). Chứng minh: \((SJN)\) tiếp xúc \((BHC)\)

Bài 9:

Ta có: \(1=a+b+c \ge a+b \ge 2\sqrt{ab} \rightarrow 1 \ge 4ab\)

Suy ra: \(0 \le 1-4ab \le 1\)

\(P=(1-4ab)^2 +(1-4bc)^2+(1-4ac)^2 \le 3 \rightarrow P_{max}=3\) 

Dấu "=" xảy ra khi \((a;b;c)=(0;1;0)\) và các hoán vị

Ta có: \(P=(1-4ab)^2 +(1-4bc)^2+(1-4ac)^2=3-8(ab+bc+ca)+16(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)

Nhận thấy: \(P \ge \frac{25}{27}\) nên ta đi chứng minh \(M=ab+bc+ca-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\le\frac{7}{27}\)

Có: \((ab-\frac{1}{9})^2 \ge 0 \leftrightarrow 2a^2b^2-\frac{4}{9}ab+\frac{2}{81} \rightarrow ab-2a^2b^2 \le \frac{5}{9}ab+\frac{2}{81}\)

Từ đó, ta được: \(M \le \frac{5}{9}(ab+bc+ca) + \frac{6}{81}\) mà \(ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3}= \frac{1}{3}\)

\(\rightarrow M\le \frac{7}{27}\). Vậy \(P_{min}=\frac{25}{27}\). Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài toán 11. Tìm các số có ba chữ số \(\overline{abc}\) sao cho: \(\overline{abc}=(a+b)^2.4c\).

Bài toán 10. Góp vui với các bạn trẻ 1 chút :)) 

Lời giải. Ta có: (O) và (BHC) đối xứng nhau qua BC nên SB,SC là tiếp tuyến đến (BHC). Gọi K là hình chiếu của H lên AM. Ta có: AH.AD=AK.AM=AF.AB nên: F,K,M,B đồng viên. Tương tự: K,E,C,M đồng viên. Ta có: ∠SCM=∠TCB=∠A=∠MEF suy ra: N thuộc (MEC). Tương tự thì: J thuộc (BFM). 

Tóm lại ta có: ∠SJK=∠AMB và ∠SNK=∠AMC nên: SJKN nội tiếp. Ta đã biết kết quả quen thuộc rằng: B,H,K,C đồng viên. Đoạn còn lại cộng góc đơn giản để chứng minh (SJN) và (BHC) có tiếp tuyến chung tại K xin nhường các bạn.