Bài toán 21: Chứng minh rằng với \( \forall p\) là số nguyên tố thì không tồn tại \(x,y\) nguyên dương thoả mãn: 

$$ 2^p + 3^p = x^{y+1}  $$

Bài toán 22: Cho \(\Delta{ABC}\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Trên cung nhỏ \(BC\) của \((O)\) lấy P sao cho \(\widehat{BAP}=\widehat{CAM}\). Lấy \(D, E, F\) bất kì trên \(BC, CA, AB\) sao cho \(DE || AB\) và \(DF || AC\). Chứng minh \((AEF)\) đi qua trung điểm \(N\) của \(AP\).

Bài 22 
Ta cần chứng minh tứ giác AFNE nội tiếp
Có:2 tam giác \(ABP\) và tam giác \(AMC\) đồng dạng
Nên \(BP.AC=AP.MC=1/2BC.AP\)

Tương tự ta cũng có 2 tam giác ABM và APC đồng dạng

Nên \(AB.PC=BM.AP=1/2BC.AP\)

Suy ra \(BP.AC=AB.PC=1/2AP.BC=AN.BC=NP.AC\)

\(\widehat{BAN}=\widehat{BCP}\)

suy ra 2 tam giác \(BAN\) và \(BCP\) đồng dạng
Nên \(\widehat{ABN}=\widehat{CBP}=\widehat{NAE}\) và \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{AB}{AC}\)

Thấy tứ giác \(AFDE\) là hình bình hành nên \(AE=DF\) suy ra \(\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{DF}{AC}\)

hay \(\dfrac{BF}{AE}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BN}{NA}\)

\(\widehat{FBN}=\widehat{ABN}=\widehat{CBP}=\widehat{NAE}\)

Nên 2 tam giác \(FBN\) và \(EAN\) đồng dạng

\(\widehat{BFN}=\widehat{NEA}\)

nên tứ giác \(AFNE\) nội tiếp

Bài toán 23(Từ post thầyTrần Nam Dũng).

Từ giả thiết ta có \(\sum\frac{1}{x+1}=2\).

Do đó có thể đặt \(x=\frac{a}{b+c};y=\frac{b}{c+a};z=\frac{c}{a+b}\).

BĐT cần cm trở thành \(\sum\frac{b+c}{a}\geq4\sum\frac{a}{b+c}\).

Áp dụng bđt Schwarz ta có \(\sum4\frac{a}{b+c}\leq \sum_{sym}\frac{a}{b}=\sum\frac{b+c}{a}\).

Vậy ta có đpcm.

P/s: Nhờ thầy Khương Nguyễn chữa bài 18 với ạ