Bài toán 19

Giả sử mọi điểm trên một mặt phẳng được tô màu xanh hoặc đỏ. cmr luôn tìm được tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu

Bài 16 
Gọi \(H\) là tâm đường tròn bàng tiếp \(\widehat{A}\) của tam giác \(ABC\)
\(F\) là điểm chính giữa cung \(BC\) nhỏ 

 \(J\) là giao \(AH\) và \(BC\)

Dễ dàng chứng minh được \(F\) là trung điểm \(IH\)

Nên \(FI=FH=FC=FB\)

Suy ra \(\dfrac{JF}{FH}=\dfrac{JF}{FB}=\dfrac{BJ}{BA}=\dfrac{IJ}{IA}\)

Nên \(\dfrac{JI}{JF}=\dfrac{ID}{MF}=\dfrac{IA}{FH}\)

Vì vậy có 2 tam giác \(AID\) và tam giác \(HFM\) đồng dạng nên \(\widehat{DAI}=\widehat{AHM}\)

Ta đi chứng minh \(\widehat{AHM}=\widehat{AKI}\)

Dễ dàng chứng minh được 2 tam giác ABI và tam giác AHC đồng dạng 

Nên \(AB.AC=AI.AH\)

Lại có \(AB.AC=AK.AM\)

Suy ra \(AI.AH=AK.AM\)

Có:\( \widehat{KAI}=\widehat{BAI}-\widehat{BAK}=\widehat{CAI}-\widehat{MAC}=\widehat{HAM}\)

Nên 2 tam giác \(AKI\) và tam giác \(AHM\) đồng dạng

Suy ra  \(\widehat{AHM}=\widehat{AKI}\)

\(\widehat{DAI}=\widehat{AHM}\)

Vì vậy \(\widehat{AKI}=\widehat{DAI}\)

Bài toán đã được chứng minh 

p/s:khoai

Bài 19: Tồn tại 2 điểm có cùng màu, giả sử A, B có màu xanh.

Dựng hình vuông ABCD có tâm O.

Nếu một trong hai điểm C, D, chẳng hạn C có màu xanh thì ABC là tam giác vuông cân có ba đỉnh màu xanh.

Nếu C, D đều cùng màu đỏ thì tồn tại một trong hai tam giác OAB, OCD có ba đỉnh cùng màu đỏ (hoặc xanh).

Vậy ta có đpcm.

Bài toán 20. Giả sử \(\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+...+\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{p}{q}\) với \(p,q\in N^*\) và \((p,q)=1\). Chứng minh rằng \(8|p\) với mọi \(n\geq 4\). 

Chọn số tự nhiên k sao cho \(2^k\leq n<2^{k+1}\).

Đặt \(S=1.3...m.2^k\) trong đó m = n nếu n lẻ và m = n - 1 nếu m chẵn.

Đặt \(k_i=\frac{S}{i}\) với \(i\in\overline{1,n}\).

Ta có \(\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+...+\frac{2^n}{n}=\frac{2k_1+2^2k_2+...+2^nk_n}{S}\).

Dễ thấy \(2k_1=2S\vdots 8;2^2k_2=2S\vdots 8;2^ik_i\vdots 2^i\vdots 8(i\in\overline{3,n})\Rightarrow 2k_1+2^2k_2+...+2^nk_n\vdots 8\).

Mặt khác \(\frac{S}{q}\) là số lẻ nên \(p\vdots 8\). (đpcm).