Bài toán 5. Cho \(a,b,c>0:a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=5(a+b+c)-8abc\)

Bài toán 3  S = \(x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2 \)

S+\(\dfrac{1}{64}\)=\((x^3+y^3+z^3)\)+(\(x^2y^2z^2 \)+\(\dfrac{1}{64}\)) \(\geq\)(\(x^3+y^3+z^3 \))+\(\dfrac{xyz}{4}\)

12S+\(\dfrac{3}{16}\)\(\geq\)12(\(x^3+y^3+z^3 \))+3xyz=11(\(x^3+y^3+z^3 \))+(\(x^3+y^3+z^3 \)+3xyz)

12S+\(\dfrac{3}{16}\)\(\geq\)11(\(x^3+y^3+z^3 \))+xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=11(x^3+y^3+z^3)+(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz

12S+\(\dfrac{3}{16}\)\(\geq \)\(\dfrac{32}{3}\)(\(x^3+y^3+z^3 \))+\(\dfrac{(x+y+z)^3}{3}\)-2xyz\(\geq\)\(\dfrac{1}{9}.\dfrac{32}{3}(x+y+z)^3\)+\(\dfrac{(x+y+z)^3}{3}\)-2xyz

12S+\(\dfrac{3}{16}\)\(\geq\)\(\dfrac{41}{27}\)\((x+y+z)^3\)-\(\dfrac{2}{27}(x+y+z)^3\)= \(\dfrac{39}{27}(x+y+z)^3\)=\(\dfrac{39}{8}\)

S\(\geq\)\(\dfrac{25}{64}\)

Bài 5:

\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{9}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow a+b+c\geq 3\)

vẫn theo gt : \(ab+bc+ca=abc(a+b+c) \)

\(\Rightarrow abc =\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)

dễ dàng dự đoán đc P min=7. Do đó ta sẽ CM : \(5(a+b+c)-8abc\geq 7\)

\(\Leftrightarrow 5(a+b+c)^2 \geq 7(a+b+c)+8(ab+bc+ca) \)

mặt khác ta có : \((a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)\) nên ta chỉ cần CM : \(5(a+b+c)^2\geq7(a+b+c)+\dfrac{8(a+b+c)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow 15(a+b+c)^2 \geq 21(a+b+c)+8(a+b+c)^2 \Leftrightarrow a+b+c \geq 3\)( đã cm ở trên )

\(\Leftrightarrow\)Pmin = 7 tại a=b=c=1

Bài toán 6. Cho \(n\) số tự nhiên lớn hơn bằng 2 bất kì. Cmr luôn chọn được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho \(2n-3\) với \(n\geq 2\).

P/s: Bạn nào đó làm bài hình ở trên rất hay, NTK

Bài toán 6. Cho n số tự nhiên lớn hơn bằng 2 bất kì. Cmr luôn chọn được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 2n−3 với n≥2.

- Xét TH có 2 số trong n số tự nhiên đó có cùng số dư khi chia cho 2n-3. Khi đó, hiệu 2 số đó chia hết cho 2n-3 

- Xét TH không có 2 số nào cùng số dư khi chia cho 2n-3:

Khi đó ta có n số dư của n số tự nhiên đó khi chia cho 2n-3 là 0,1,2,..., 2n-4

Ta chia 2n-3 số trên thành các n-1 nhóm: n-2 cặp và 1 nhóm chỉ có 1 số: (1,2n-4), (2,2n-5), ...., (n-3, n), (n-2,n-1) và 0

Theo nguyên lí Dirchlet thì có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 cặp ( không tính nhóm chỉ có 1 số 0)

Mà hai số trong mỗi cặp trên có tổng chia hết cho 2n-3, từ đây ta có đpcm