Bài toán 7. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \((O)\) có các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BE,CF\). \(MN\cap AC,AB=P,Q\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APQ\) tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HMN\). 

Em cảm ơn anh :))
Bài toán 7
Lấy \(G\) là trung điểm \(BC\)
suy ra \(GN\) vuông góc \(CF; GM\) vuông góc \(BE\)
Nên tứ giác \(HDGN;HMNG\) nội tiếp 

Suy ra 5 điểm \(H;D;N;G;M\) thuộc 1 đường tròn
Hay \((HMN)\) đi qua \(D\)
Ta đi cm tứ giác \(DNCP\) nội tiếp
do \(\widehat{MND}=\widehat{MGD}=\widehat{ACB}\)
nên tứ giác \(DNCP\) nội tiếp

suy ra \(\widehat{DPN}=\widehat{DCN}=\widehat{QAD}\)
nên tứ giác \(AQPD\) nội tiếp suy ra  \((APQ)\) đi qua \(D\)
đồng thời ta cũng có \(\widehat{HMD}=\widehat{HND}=\widehat{APD}\)
Kẻ tiếp tuyến tại \(D\) của \((HMN)\) suy ra \(\widehat{xDH}=\widehat{HMD}\)
\(\widehat{HMD}=\widehat{APD}\)
suy ra \(\widehat{xDA}=\widehat{APD}\)
nên \(Dx\) đồng thời là tiếp tuyến của \((APQ)\)
suy ra \((APQ)\) và \((HMN)\) tiếp xúc tại \(D\)

Bài 7:

Bài toán 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, M là trung điểm của BC. AH lại cắt (O) tại K. AM lại cắt (O) tại N. Đường thẳng qua H vuông góc với AM cắt BC tại X . XH cắt KN tại Y. KN cắt BC tại Z. Chứng minh rằng (XYZ) tiếp xúc với (O)

Bài 8:

Dựng đường kính AE
Quen thuộc: H,M.E thẳng hàng và H đối xứng với K qua BC
Gọi G là giao điểm của HM với (O)
Ta có: \(∠KGH=∠KAE=90°-∠AEK=90°-∠ANK=∠KYH\)
=> GHKY nội tiếp => \(∠GYH=∠GKH\) (*)
Có: H là trực tâm của △AXM mà \(HG ⊥ AX\)
=> A,G,X thẳng hàng
Mặt khác:\(∠AHG=∠GXB\) (H là trực tâm △AXM)
GHKY nội tiếp =>\(∠AHG=∠GYK\)
=>\(∠GYK=∠GXB\)
=>\(∠ZXG=∠ZYG\) => ZYXG nội tiếp 
Từ G kẻ tiếp tuyến d của (O)
\(∠dGA=∠GKH\). Theo (*) => \(∠dGA=∠GYX\)
mà \(∠dGA=∠YGd\) => d cũng là tiếp tuyến của (XYZ)
=> (XYZ) tiếp xúc (O) tại G => đpcm