Lời giải của em:
Xét x chẵn, y chẵn ⇒ x = y = 2 ⇒ z = 8 (Loại)

Xét x lẻ, y lẻ ⇒ z chẵn mà z > 2 (Do x, y, z là các số nguyên tố) (Loại)

Vậy x lẻ, y chẵn hoặc x chẵn, y lẻ. Do x, y vai trò như nhau, ta chỉ xét t/h x chẵn, y lẻ. Khi đó x = 2; y = 6k + 1 hoặc y = 6k + 5 hoặc y = 3 (Do x, y là số nguyên tố).

Với y = 6k + 1, ta có: \(2^{6k+1} + (6k + 1)^2 = z\) ⇔ \(64^k.2+36k^2+12k+1=z\) (1)

Có VT(1) chia hết cho 3 ⇒ VP(1) chia hết cho 3 ⇒ z = 3 (Vô lí)

Với y = 6k + 5 ta có \(2^{6k+5} + (6k + 5)^2 = z\) ⇔ \(64^k.32+36k^2+60k+25=z\) (2)

Có VT(2) chia hết cho 3 ⇒ VP(2) chia hết cho 3 ⇒ z = 3 (Vô lí)

Vậy y = 3 ⇒ z = 17 (TM). Từ đó ta có (x, y, z) = (2, 3, 17); (3, 2, 17)

https://drive.google.com/file/d/1zImaBFMrgzS9ZWaxvaDlOJdB_n6jqIFX/view?usp=drivesdk
Lời giải của em ạ 

xét x,y đều chẵn suy ra z chẵn mà z>2(loại)

xét x,y không có số nào là 2 suy ra x+y chẵn suy ra z chẵn (loại)

trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số là 2. KMTTQ giả sử x=2 từ pt ban đầu có 2^y +y^2=z

xét y=3 suy ra thỏa mãn 

xét y>3 suy ra y^2 chia 3 dư 1 ; 2^y chia 3 dư 2(vì y lẻ) suy ra 2^y + y^2 chia hết cho 3 nên z chia hết cho 3(loại)

KL:...

(P/s MN thông cảm e ko bt đánh latex)

Bài toán 2. Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{HA}{BC}+\dfrac{HB}{AC}+\dfrac{HC}{AB}\geq \sqrt{3}\).

Gọi 3 đường cao là \(AD,BE,CF \)

Ta có : \(\Delta HDC \sim \Delta BDA \Rightarrow \frac{HC}{AB}=\frac{HD}{BD}=\frac{CD}{AD}\)

           \(\Delta HDB \sim \Delta CDA\)\(\Rightarrow \)\( \frac{HB}{AC}=\frac{HD}{CD}=\frac{BD}{AD}\)

\(\Rightarrow \)\(\frac{HC^2}{AB^2}.\frac{HB^2}{AC^2}=\frac{HD^2}{AD^2}\) do đó \(\frac{HC.HB}{AB.AC}=\frac{HD}{AD}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

CMTT ta được \(\frac{HA.HC}{AB.AC}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\), \(\frac{HA.HB}{BC.BA}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

 \(\Rightarrow \frac{HA.HB}{CA.CB}+\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HC.HA}{BC.BA}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}=1\)

Đặt \(\frac{HA}{BC}=x,\frac{HB}{AC}=y, \frac{HC}{AB}=z \)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1 \)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 1\). Lại có \((x+y+z)^2 =x^2+y^2+z^2 +2xy+2yz+2zx \geq 1 +2=3 \)

\( \Rightarrow x+y+z \geq \sqrt{3}\) hay \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+ \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3}\) (đpcm)!!